2018年四川宜宾中考压轴倒一题（函数相关）解析

---

声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！

---

---

建议阅读：

如何快速查找到本公众号的文章（如同“百度”查找）

【2018·宜宾】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)，如图，直线y=x/4与抛物线交于A、B两点，直线l为y= –1.

（1）求抛物线的解析式;

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由；

（3）已知F(x₀,y₀)为平面内一定点，M(m,n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标.

【图文解析】

（1）简析：由顶点（2，0），可设抛物线的解析式为y=a(x-2)²_，再将点（4，1）代入，可得：1＝a(4-2)²，解得a=1/4，所以所求的解析式为：

y=(x-2)²/4.

（2）联立直线l:y=x/4与抛物线y=(x-2)²/4的解析式，可得A、B两点坐标为A（1，1/4）和B（4，1），同时B关于对称轴l（直线y＝－1）的对称点B’为（4，-3），连接AB’交直线l于点P，就是所求的PA+PB取得最小值的点.如下图示：

      由点A（1，1/4）和B’(4，-3)得直线AB’的解析式为y=-13x/12+4/3，当y=-1时，有：-13x/12+4/3=-1，解得x=28/13，所以所求的P点坐标为(28/13，－1).

---

---

(3)

根据抛物线的对称性，点F必在抛物线的对称轴x=2上，即F（2，y₀）,又M(m,n)，且n=(m-2)²/4，即(m-2)²=4n.则MC＝y_P－y_M=n+1，PM²＝(n+1)²，MF²=(m-2)²+(n-y₀)²

　　=4n+(n-y₀)².

由MC²＝MF²可得：

(n+1)²=4n+(n-y₀)²，

(n+1)²－4n =(n-y₀)²，

(n-1)²=(n-y₀)²，

所以n-1=n－y₀

或(n-1)+(n－y₀)＝0

解得y₀=1或y₀＝2n－1

y₀=2n+1非定值,舍去.

综上，所求的点F(2,1).

 (坚持写解题文章也不容易，您的点赞给予我的是信心，您的分享给予我的是动力。别忘了，给作者一个鼓励，点个赞哦！)