2018四川自贡中考压轴倒一（函数相关）
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（2018四川自贡）如图，抛物线y=ax2+bx-3过A（1，0），B（-3，0），直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2 ，点P（m,n）是线段AD上的动点.
⑴.求直线AD及抛物线的解析式；
⑵.过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q ,求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
⑶.在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R,使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由.
【图文解析】
(1)简析：将点A（1，0），B（-3，0）代入抛物线解析式，可得a=1，b=2，即抛物线解析式为y=x2+2x-3，点D坐标为（-2，-3），故直线AD为y=x-1.
(2)点P（m,n）是线段AD上的点，可得-2≤m≤-1，且n=m-1；直线PQ⊥轴，且Q在抛物线上，因此点Q坐标为（m,m2+2m-3），此时P在Q的上方， PQ=（m-1）-（m2+2m-3）=-m2-m+2=-(m+1/2)2+9/4，∴当m=-1/2时，PQ有最大值为9/4.
(3)①若PQ为平行四边形的一边，则PQ//DR，且PQ=DR，要使点R为整点，则PQ长度为整数，由0<PQ≤9/4，可知DR=PQ=1或2，即R1（-2，-2），R2（-2，-4），R3（-2，-1），R4（-2，-5）；
②若PQ为平行四边形的对角线，分别过点D、R作DM⊥PQ，RN⊥PQ，则可得DM=NR=m+2，要使点R为整点，则2（m+2）为正整数，∵-2≤m≤-1，∴0≤2（m+2）≤2，即2（m+2）=1或2，可求得m=-1或0，对应的R点坐标分别为R5（0，-3），R6（2，-1）.
【反思】求某条动线段的长度时，函数解法是将这条线段长度的表达式求出来，通过函数的特征求出长度的最大或最小值；对于平行四边形问题，先分类清楚，再求解，能够做到不重不漏.
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