2018四川自贡中考压轴倒二（几何背景）
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2018四川自贡中考压轴倒二
如图，已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E.
⑴.当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
⑵.当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由；
⑶.当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
【分析】由∠AOB=60°，及∠DCE= 120°，可知∠CDO+∠CEO=180°，且OC平分∠AOB，可推出角平分线上的点到角的两边距离相等，故本题背景符合旋转的条件．
【图文解析】
(1)简析：当CD⊥OA时，易证△DCO≌△ECO，则OD＋OE＝２OE，Rt△OCE 中，∠COE=60°，∴OE+OD＝√３OC
(2) 过点C作CP⊥OA于点P，CQ⊥OB于点Q，则易证△CDP≌△CEQ，即DP=EQ，∴OD+OE=OQ+OP=√3OC．
(3) 当绕点旋转到与的反向延长线相交时，如图所示，同理可证得△CDP≌△CEQ，则DP=QE，又∵DP=DO+OP，OP=OQ，∴OE-DO=2OQ=√3OC．
本题中的图形也可以看成是如下变换：将△COD绕点C逆时针旋转120°得到△CFE，同样得证．
【反思】看到本题，相信很多朋友会想起下面这道题，思路如出一辙：通过旋转或构造三角形全等或线段之间的截长补短，实现求线段的和．
（2015•盐城）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4√3，∠BAD=60°，且AB＞4√3．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=6，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.
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