2018南京市中考压轴倒一（三角形和圆）

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结果如此巧合！

下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积.

解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x.

根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.

根据勾股定理，得(x+3)²+(x+4)²=(3+4)².

整理，得x²+7x=12.

所以S_△ABC=1/2AC•BC

=1/2(x+3)(x+4)

=1/2(x²+7x+12)

=1/2×(12+12)

小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?

请你帮她完成下面的探索.

已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n.

可以一般化吗？

（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn.

倒过来思考呢？

（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°.

改变一下条件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积.

【图文解析】

 (1)依题意，画出图形，由勾股定理可得，(x+m)²+(x+n)²=(m+n)²，整理得

x²+（m+n）x=mn，

则S_△ABC=1/2AC•BC

=1/2(x+m)(x+n)

=1/2[x²+(m+n)x+mn]

=mn

(2)若AC•BC=2mn，即(x+m)(x+n)=2mn，

打开整理可得(x+m)²+(x+n)²=(m+n)²，即AC²+BC²=AB²，

故∠C=90°．

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(3)关键是要结合∠C=60°，找出△ABC的面积的表达式．

过点A作AG⊥BC于点G，

则可得AG=√3/2•AC=√3/2•（x+m），

由S_△ABC=1/2BC•AG

=1/2•（x+n）•√3/2•（x+m）

=√3/4•[x²+(m+n)x+mn]……①

又∵CG=1/2AC=1/2（x+m），∴BG=BC-CG=1/2•（x+2n-m）

在Rt△ABG中，由勾股定理可得：AB²=AG²+BG²

即：（m+n）²

=[√3/2•（x+m）]²+[1/2•（x+2n-m）]²

整理可得x²+(m+n)x=3mn，代入①式，

可得S_△ABC=√3mn.

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【反思】计算是学好数学必须掌握的最基础的基本功，要做到胆大心细，不错过题目告诉我们的每一个条件、提示．相信自己一定能做好的．

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