八下期末复习系列——综合训练（7）
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【例】如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点．
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2），通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立（不用证明）；
（3）在图（2）中，试想：如果拖动点A，通过你的观察和探究，在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明；
（4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明）．
【图文解析】
(1)和(2)两小题的思路如下：由于DE是△ABC的中位线，则有DE平行于BC，且等于BC的一半；同理FG是△OBC的中位线，有FG平行于BC，且等于BC的一半，因此有DE与FG平行且相等，所以四边形DFGE是平行四边形．如下图所示.
或：
具体解题过程如下：
∵BE、CD是中线，
∴D、E是两边的中点．
∴DE∥BC且DE=0.5BC．
又∵点F、G分别是OB、OC的中点，
∴FG∥BC且FG=0.5BC．
∴DE∥FG且DE=FG．
∴四边形DFGE是平行四边形．
(3)要使四边形DFGE是矩形，因该四边形已经是平行四边形，根据矩形的判定，需一直角或对角线相等即可，两种思路均可，分别分析如下：
由于矩形是轴对称图形，因D、E、F、G均为相应线段或边的中点，自然也考虑到整个图形也应该是轴对称图形，为此可大胆猜想：当AB＝AC时，四边形DFGE是矩形.
先画出符合条件的图形，如下图示：
当AB=AC时，不难证得△ABE≌△ACE（SAS），得到∠1＝∠2，又由AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB，所以∠3＝∠4，从而OB＝OC，且F、G分别是OB和OC的中点，得到OF＝OG，进一步，不难得到DG＝EF，从而平行四边形DFGE是平行四边形.
当然也可用以下办法来证：
利用等腰三角形的三线合一的性质得到DF⊥FG．
（4）拖动点A，存在四边形DFGE是正方形或菱形（无数多个），如图所示．
或：
【反思】显然只需△BOC为直角三角形，则四边形DFGE是菱形；若△BOC为等腰直角三角形，则四边形DFGE是正方形；若△BOC为等腰三角形，则四边形DFGE是矩形，而显然这些情况是存在的.
【拓展】在原试题的条件下，当四边形DFGE是正方形时，若BC＝12，求AB的长.
（答案:AB=6√10.）
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