2018年湖南岳阳中考倒二压轴（第24题）（直角三角形与相似）

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（2018•岳阳）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B’处，连接AB’，BB’，延长CD交BB’于点E，设∠ABC＝2α(0°＜α＜45°）.

(1)如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；

(2)如图2,若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用α的式子表示）；

(3)如图3，将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α＋45°)，得到线段FC，连接EF交BC于点O,设△COE的面积为S₁，△COF的面积为S₂，求S₁/S₂ (用含α的式子表示）.

【图文解析】

（1）证明点B'在CA延长线,得出△BB'E和△ACD全等.

（2）得出△BB'E和△ACD相似，转化线段关系，以三角函数表示.由(1)知B'在CA延长线上，BB'＝2BE，△ABB'∽△ACD，

由(1)知，∠CEB＝90°，∵∠ABC＝2，

∴∠ACBN＝90°－2，

又EC平分∠ACB，

∴∠ECB＝45°－，

由旋转知∠BCF＝45°＋，

∴∠ECF＝∠ECB＋∠BCF＝90°，

∴∠BEC＋∠FCE＝180°，

∴CF∥BE，∴△BEO∽△CFO，

【反思】共线边之比与面积及相似的联系.

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