【微微课】第11章《三角形》——课时4：三角形的角（2）
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一、知识要点
认真观察动画演示，
你会了吗？
二、例题选解
【例】已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．
（1）当∠BAC=40°时，求∠BPC和∠BQC的度数；
（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；
（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠QBC=0.5∠PBC，∠QCB=0.5∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；
（3）依题意得∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的定义和性质及三角形内角和定理得到∠BOC的度数．
【解】（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP
=0.5（∠DBC+∠BCE）=110°，
∴∠BPC=180°﹣110°=70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC=0.5∠PBC，
∠QCB=0.5∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB=55°，
∴∠BQC=180°﹣55°=125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB=180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，
∴3/4（∠DBC+∠BCE）=180°，
即3/4（180°+∠BAC）=180°，
解得∠BAC=60°；
（3）∵∠BAC=120°，
∴∠MBC+∠NCB
=3/4（∠DBC+∠BCE）
=3/4（180°+α）=225°，
∴∠BOC=225°﹣180°=45°．
【反思】理清三角形内外角的联系，注意整体思想在解题中的作用.
三、练习巩固
1．如图，△ABC的外角平分线AE与BC的延长线交于点E，∠E=20°，∠ACB=75°，求∠B的度数．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，外角∠EAB，∠ABF的平分线AD、BD相交于点D，求∠D的度数．
（答案在下一课时中）
四、再次强调
五、上一课时答案
1．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，求∠A的度数.
A．75° B．50° C．35° D．30°
【解】∵DE∥BC，
∴∠DEC=∠ACF=140°，
∴∠AED=180°﹣140°=40°，
∵∠ADE=105°，
∴∠A=180°﹣105°﹣40°=35°，
2．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF=142°，求∠C的度数.
【解】∵将△ABC沿DE，EF翻折，
∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，
∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣142°=38°.
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