【微微课】第22章《二次函数》课时7：二次函数y=ax＾2+bx+c的图象与性质（1）——二次函数 的图象与性质

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建议阅读：

一、知识要点

认真观察动画演示，

你会了吗？

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二、精选练习

先思考，别急着看答案哦！

【练习】1．已知一次函数y=b/ax+c的图象如图，则二次函数y=ax²+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）.

2．如图，函数y=ax²﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）.

3．已知，抛物线y=ax²+bx+c的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线x=1；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③a+b+c=﹣4；④方程ax²+bx+c+5=0无实数根．其中正确的有（　　）

A1个   B2个 C3个   D4个

4.已知抛物线y=﹣x²+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A.﹣2.5＜x＜1/2

B.﹣1.5＜x＜0.5

C.x＞0.5或x＜﹣2.5

D.x＜0.5或x＞﹣2.5

5.若关于x的一元二次方程ax²+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0与1之间（不含0和1），求a的取值范围．

6.某学生为了描点作出函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象，取自变量的7个值，x₁＜x₂＜…＜x₇，且x₂﹣x₁=x₃﹣x₂=…=x₇﹣x₆，分别算出对应的y值，列表如下：

但由于粗心算错了其中一个y值，请指出算错的是　　．（从上述数据中选一个填入）

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	51	107	185	285	407	549	717

7.已知抛物线y₁=x²+2（m+2）x+m﹣2与x轴交于A，B（点A在点B左侧）两点，且对称轴为x=﹣1．

（1）求m的值并画出这条抛物线；

（2）根据图象回答当x取什么值时，函数值y₁大于0？

（3）若直线y₂=kx+b过点B且与抛物线交于点P（﹣2，﹣3），根据图象回答当x取什么值时，y₂≤y₁．

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练习答案与提示

1.已知一次函数y=b/ax+c的图象如图，则二次函数y=ax²+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）.

【解】观察函数图象可知：b/a＜0、c＞0，

∴二次函数y=ax²+bx+c的图象对称轴x=﹣b/(2a)＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．

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2．如图，函数y=ax²﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　）.

【解】A.由一次函数y=ax﹣a的图象可得a＜0，此时二次函数y=ax²﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项A错误；

B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得a＞0，此时二次函数y=ax²﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=1/a＞0，故选项B正确；

C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得a＞0，此时二次函数y=ax²﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=1/a＞00，和x轴的正半轴相交，故选项C错误；

D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax²﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项D错误．

因此应选：B．

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3．已知，抛物线y=ax²+bx+c的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线x=1；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③a+b+c=﹣4；④方程ax²+bx+c+5=0无实数根．其中正确的有（　）.

A．1个      B．2个      C．3个      D．4个

【解】①由图象可知，对称轴是直线x=1，正确；

②对称轴是直线x=1，抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0），则另一个交点是（3，0），所以当﹣1＜x＜3时，y＜0，正确；

③已知点（﹣1，0），（3，0），可设抛物线的交点式y=a（x+1）（x﹣3），再把点（0，﹣3）代入得a=1，所以y=（x+1）（x﹣3）=x²﹣2x﹣3，故a+b+c=1﹣2﹣3=﹣4，正确；

④因为y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4≥﹣4，所以y+5≥1，即ax²+bx+c+5≥1，方程无实数根，正确．

故选：D．

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4．已知抛物线y=﹣x²+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A.﹣2.5＜x＜1/2

B.﹣1.5＜x＜0.5

C.x＞0.5或x＜﹣2.5

D.x＜0.5或x＞﹣2.5

【解】因为抛物线与x轴的交点（0.5，0），对称轴是x=﹣1，

根据抛物线的对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点（﹣2.5，0）；

因为a=﹣1＜0，图象开口向下，

所以，当x＞0.5或x＜﹣2.5时，y＜0．

故选：C．

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5.若关于x的一元二次方程ax²+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0与1之间（不含0和1），求a的取值范围．

【解】根据题意，ax²+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0与1之间，

分析可得：x=0与x=1时，二次函数y=ax²+2x﹣5的符号必须异号，

即（﹣5）×（a+2﹣5）＜0；

有a+2﹣5＞0；解得a＞3.

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6.某学生为了描点作出函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象，取自变量的7个值，x₁＜x₂＜…＜x₇，且x₂﹣x₁=x₃﹣x₂=…=x₇﹣x₆，分别算出对应的y值，列表如下：

但由于粗心算错了其中一个y值，请指出算错的是　y₆　．（从上述数据中选一个填入）

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
y	51	107	185	285	407	549	717

【解】设x₂﹣x₁=x₃﹣x₂=…=x₇﹣x₆=n，

因为y₂﹣y₁=a（x₂﹣x₁）（x₂+x₁）+b（x₂﹣x₁）=an（x₂+x₁）+bn，

又因为（y₃﹣y₂）﹣（y₂﹣y₁）=an（x₃﹣x₁）=2an²为常数．

观察算式：

①根据表格中的函数值，第一次作差

107﹣51=56

185﹣107=78

285﹣185=100

407﹣285=122

549﹣407=142

717﹣549=168

②再进行第二次作差

78﹣56=22

100﹣78=22

122﹣100=22

142﹣122=20

168﹣142=26

观察第二次差的结果，最后两个算式的结果与前面不同，是因为有y₆参加运算的结果，可知y₆错了．

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7．已知抛物线y₁=x²+2（m+2）x+m﹣2与x轴交于A，B（点A在点B左侧）两点，且对称轴为x=﹣1．

（1）求m的值并画出这条抛物线；

（2）根据图象回答当x取什么值时，函数值y₁大于0？

（3）若直线y₂=kx+b过点B且与抛物线交于点P（﹣2，﹣3），根据图象回答当x取什么值时，y₂≤y₁．

【解】（1）由题意得：-2(m+2)/2=-1，∴m=﹣1．

∴抛物线解析式为：y₁=x²+2x﹣3．

令y₁=0，即x²+2x﹣3=0，解得x₁=﹣3，x₂=1．

∴点A（﹣3，0），点B（1，0）

∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．

（2）由图象可知，当x＜﹣3或x＞1时，抛物线在x轴上方，函数值y₁大于0．

（3）由图象可知，当x≤﹣2或x≥1时，y₂≤y₁．

三、小结、强调

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