【微微课】第22章《二次函数》——课时8：二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质(2)——二次函数解析式的确定
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一、知识要点
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你会了吗？
二、精选练习
先思考，别急着看答案哦！
【练习】
1.已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
2.已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？
3.已知直线y=2x﹣2与抛物线y=mx2+mx+n交于点A（1，0）和点B，且m＜n．
（1）当m=﹣2时，直接写出该抛物线顶点的坐标．
（2）求点B的坐标（用含m的代数式表示）．
（3）设抛物线顶点为C，记△ABC的面积为S．
①若-1≤m≤-1/3,求线段AB长度的取值范围；
②当S=105/8时,求对应的抛物线的函数表达式．
4.二次函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m+3．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点C(0,n)作直线l⊥y轴,当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n关于m的函数表达式;
（3）若对于每一个给定的x值,它所对应的函数值都不大于6,求整数m.
5．在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象过点(1,﹣7).
（1）若a﹣b=8，求函数的表达式；
（2）若函数图象的顶点在x轴上，求a的值；
练习答案与提示
1.已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴;
（3）判断点B(-1,﹣4)是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
【解】（1）依题意，得：
a•（﹣2）2=﹣8，
解得a=﹣2，
∴此抛物线的解析式为y=﹣2x2．
（2）由题可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；
（3）当x=﹣1时，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，
所以点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上；
（4）当y=﹣6时，﹣6=﹣2x2，
解得x=±√3，
∴抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标为（√3，﹣6）或（﹣√3，﹣6）．
2.已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？
【解】（1）根据题意，得：
y=a（x﹣4）2，
把（1，﹣3）代入，得：
﹣3=a（1﹣4）2，
解得a=﹣1/3，
∴二次函数解析式为：y=﹣1/3(x﹣4)2；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=4，抛物线开口向下，
∴当x＜4时，y随x的增大而增大．
3.已知直线y=2x﹣2与抛物线y=mx2+mx+n交于点A（1，0）和点B，且m＜n．
（1）当m=﹣2时，直接写出该抛物线顶点的坐标．
（2）求点B的坐标（用含m的代数式表示）．
（3）设抛物线顶点为C，记△ABC的面积为S．
①若﹣1≤m≤﹣1/3，求线段AB长度的取值范围；
②当S=105/8时，求对应的抛物线的函数表达式．
【解】（1）∵抛物线y=mx2+mx+n过点A（1，0），得n=﹣2m，
当m=2时，y=2x2+2x﹣4
=2（x2+x﹣2）
=2（x+0.5）2﹣4.5，
则抛物线顶点坐标为（-0.5，4.5）；
（2）
整理得，mx2+（m﹣2）x﹣2m+2=0，
解得x=1或x=2/m﹣2，
∴B点坐标为（2/m﹣2，4/m﹣6）；
（3）①由勾股定理可得:
AB2=[(2/m﹣2)﹣1]2+(4/m﹣6)2
=5（3﹣2/m）2，
∵-1≤m≤-1/3，
∴﹣3≤1/m≤﹣1，
∴AB2随1/m的增大而减小，
∴当1/m=﹣3时，AB2有最大值405，则AB有最大值9√5，
当1/m=﹣1时，AB2有最小值125，则AB有最小值5√5，
∴线段AB长度的取值范围为5√5≤AB≤9√5；
②设抛物线对称轴交直线与点E，
∵抛物线对称轴为x=﹣1/2，点E在直线AB：y=2x﹣2上，
∴E（﹣1/2，﹣3），
∵A(1，0),B(2/m-2,4/m-6),且m＜0，
∴△ABC的面积S=S△CEB+S△ACD
=0.5(-9m/4+3)(3﹣2/m)=105/m，
解得m=﹣1或m=-8/9，
所以对应的抛物线的表达式为：
y=﹣x2﹣x+2或y＝8x2/9-8x/9+4/9．
4.二次函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m+3．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；
（3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m．
【解】（1）对称轴为直线x=﹣1.
（2）∵y=(m+1)x2-2(m+1)x-m+3
=(m+1)(x-1)2-2m+2，
由题意知:直线l的解析式为y=n，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴n=﹣2m+2；
（3）抛物线y=(m+1)x2-2(m+1)x-m+3的顶点坐标是(1,-2m+2).
解得﹣2≤m＜﹣1，
∴整数m的值为﹣2．
5.在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象过点（1，﹣7）．
（1）若a﹣b=8，求函数的表达式；
（2）若函数图象的顶点在x轴上，求a的值；
【解】（1）依题意，得：a+b﹣3=﹣7，
又∵a﹣b=8，
∴二次函数为y=2x2﹣6x﹣3；
（2）∵a+b﹣3=﹣7，
∴b=﹣4﹣a，
∵函数图象的顶点在x轴上，
∴△＝ (-4-a)2-4a×（-3）＝0
解得a=﹣10±2√21；
三、小结、强调
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