2018年贵州贵阳中考选择压轴图文解析 (三角形与矩形相关的最值问题)

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（2018·贵阳）如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为         .

【图文解析】

      求线段长的最值问题，通常有两种方法，一是能直接找到最值的点（限于本题条件已无法实现），二是转化为求函数的最值问题。根据题意，可利用勾股定理，将“求EG的长可转化为求EG²＝EF²+FG²的最小值”，为此可设FG＝x，用x表示出EF（＝BC）的长，进一步得到关于x的函数有关系.

      显然由DEFG为矩形得DG//BC，且EF＝DG，结合“已知条件BC＝6，BC边上的高为4”，很自然联想到“相似三角形的对应的比等于相似比”，因此可过点A作AM⊥DG于M，交BC于N，如下图示.    

      即由DG//BC得△ADG∽△ABC.得AM/AN＝DG/BC，即（4-x）/4=DG/6.解之，DG＝6－3x/2,所以EF＝DG＝6－3x/2.

      在Rt△EFG中，根据勾股定理知， EG²＝EF²+FG²＝(6-3x/2)²+x²，整理，得：EG²＝13/4 (x-16/13)²+144/13，其中0<x<4，显然当x=16/13时，EG²最小，最小值为144/13，对应的EG的最小值为（12√13）/13.

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【点评】本题主要考查矩形和相似三角形的判定与性质.解题的关键是将“最值问题”转化为“求函数的最值问题”，通过矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理建立关于EG²的函数关系，再利用二次函数的性质求出最值，相应地得到对应的对角线EG的最小值．

【延伸拓展】

原题的条件不变，继续求下列问题：

(1)求四边形EFGH面积的最小值；

(2)当矩形的长与宽的比为3：2时，求矩形的周长.

【答案】

（1）6；（2）10或120/13.

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