2018年贵州贵阳中考压轴倒二 (三角形与矩形相关问题)

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建议阅读：

（2018·贵阳））如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=√3，P是BC边上的一点，且BP=2CP．

（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

【图文解析】

（1）常规作图题，如下图示.但要注意：要写出作图结论；

（2）由已知条件，结合三角函数的定义，不难得到：

即由tan∠AED＝AD/CD＝…＝√3，从而∠AED＝60⁰，同理∠BEC＝60⁰，进一步得到∠AEB＝60⁰，得到∠AEB＝∠BEC ＝60⁰，所以EB平分∠BEC.

      当然本题也可以通过△AED≌△BEC（SAS）得出结论．

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（3）首先要先判断出△PAE和△PFB之间的关系.显然应该从已知的边角条件入手.

      由已知不难得到CE＝0.5BC＝√3/2，CP＝BC/3＝1，在Rt△CEP中，由tan∠CEP=CP/CE＝√3/3，得到∠CEP＝30⁰，进一步，通过计算，不难得到：（如下图示）

      由PB＝PE， PE⊥AE（而PB⊥AB显然），结合角平分线的性质不难得到：AP平分∠BAE，进一步可以得到△PAE≌△PAB.

      进一步，又有：

      不难证得△PAB≌△PFB（AAS），或者直接利用等腰三角形的判定和性质得到证明.

      从上面的证明可得到：△PAE≌△PAB≌△PFB.

      所以△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合的，再沿PE折叠，或沿AE折叠．如下图示：

      下面再通过动画说明

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形和角平分线的性质，等腰三角形、全等三角形的判定和性质，角平分线锐角三角函数，图形的变换等，难度不大，但综合性强。通过计算，不难得到相关线段相等，进一步得到△PAE≌△PAB≌△PFB是解本题的关键．

【拓展延伸】

如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=√3，P是BC边上的一点，且BP=2CP，E是CD的中点为，连接BD、 AE、AP，　BD分别与AE、AP交于M、N点.求DM：MN的值.

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答案：5/4.

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