2018年贵州贵阳中考压轴倒一 (抛物线与平行四边形)

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建议阅读：

（2018·贵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（m³-m²）/x（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．

(1)当m=3时，求点A的坐标；

(2)DE=，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；

(3)连接BD，过点A作BD的平行线，与(2)中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？

【图文分析】

(1)简析：当m=3时，y=…＝18/x

所以当x=3时，y=6，得A(3,6)

(2)利用“AD⊥AC（得直角）”，添加常用辅助线（本公众号已有不少于20篇文章介绍过此类的辅助线），再结合ED∥y轴和AD=AC，可得全等三角形.如下图示，

      此时不但可以得到△ACF≌△ADE，还能得到一个最常见的基本图形——“子母直角三角形”（此图只需任意两个条件（至少一个是边的条件），可求出所有相关结论，即此“图形可解”），如下图示：

      由题意，可得A(m,m²-m)，得到对应的线段长分别为：（如下图示）

      分别在Rt△ABF和Rt△ACF中，由∠ABF＝∠CAF得tan∠ABF＝tan∠CAF，m/(m²-m+m)=CF/m，解得CF=1，所以DE＝CF＝1.

      进一步，可得到D点坐标（可用平移来理解）为：D(2m，m²-m-1).

用代入法消去m（可由第一个方程得m=x/2，然后代入第二个方程），y关于x的函数关系式为：y=x²/4－x/2－1.

      由m>1，可得x＝2m>2，即自变量x的取值范围为x>2.

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（3）原题再现：连接BD，过点A作BD的平行线，与(2)中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？

      解析如下：

      由题意可知，AF∥BD，当AD、BF为平行四边形对角线时，

可以通过平移，表示出F点的坐标.

      从点B到点D的平移过程：点B向右平移2m个单位,再向上平移m²-m-1得到点D点，对应的点A(m,m²-m)也是以同样的平移方式　得到F点，所以得到F(3m,2m²-m-1),代入(2)中的抛物线解析式可得：

解得m₁=2，m₂=0（舍去）.

      类似地，属于以下两情况时，同理可用m表示出对应的F点的坐标，同样可求得m的值，但均不符合题意.

      综上所述，当m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．

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