2018年四川广安中考压轴倒二 (与圆相关)
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(2018·广安)如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
(1)求证：∠PCA＝∠ABC；
(2)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连结BE，若cos∠P＝4/5,CP＝10,求BE的长．
【图文解析】
【题干解读】
由“AB是⊙O的直径”可得到一系列的直角，进一步得到一系列的直角三角形，在不添加辅助线的情况下，可得到：∠ACB＝900（即图中△ABC直角三角形；必要时可连接BE，连接AG、BG得到相应的直角三角形.
结合题中条件“CG⊥AB，垂足为D“可得到最常见且重要的基本图形——子母直角三角形（本公众号已有多篇文章）和对应的结论，如下图示：
由“PC切⊙O于点C“可添加”连接OC，同样得到OC⊥PC，如下图示：
对比上述两图，可得到以下结论：
【逐题解析】
（1）由题干解读中不难得到：
∠PCA＝∠BCO＝∠ABC.
（2）由“AE∥PC”可得∠BAE＝∠P，结合条件“cos∠P＝4/5”可得cos∠BAE＝4/5，为后续求BE的长提供了一个“平台”——直角三角形ABE.如下图示：
从已知条件“cos∠P＝4/5，CP＝10”，可得到：在Rt△POC中，OP＝CP/（cos∠P）=10/(4/5)=25/2，再由勾股定理,不难得到OC＝15/2，所以直径AB＝2OC＝15，如下图示：
从而在Rt△BAE中,有：
【拓展延伸】
如图,已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦,CG⊥AB，垂足为D．
(1)求证：CA平分∠PCG；
(2)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CD于点F,连结BE,若cos∠P＝4/5,CP＝10,求EF的长．
答案：（1）略；（2）33/4.
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