2018年四川广安中考压轴倒一 (抛物线与相似)

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建议阅读：

 (2018·广安)如图,已知抛物线y＝0.5x²＋bx＋c与直线y＝0.5x＋3相交于A,B两点,交x轴于C，D两点,连结AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使｜MB－MD｜的值最大，并求出最大值；

(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连结PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由.

【图文解析】

【题干解读】

      由A,C两点均在抛物线上，将其坐标直接代入y＝0.5x²＋bx＋c，即可求出二次函数的解析式为y＝0.5x²＋2.5x＋3；

      由点B为直线y＝0.5x＋3的交点，联立两解析式可求得B(-4,1)；由A、B、C三点坐标，通过勾股定理可分别求AC＝3√2，BC＝√2、AB＝2√5，同时BC、AC与x轴相交所得的锐角为45⁰，直线BC为y=-x-3.

      进一步可得到△ABC为直角三角形.又因D为抛物线与x轴的另一交点，由0.5x²＋2.5x＋3＝0，得另一根为-2，从而D（-2，0）.

【逐题解析】

（1）由题干解读得：抛物线的解析式为y＝0.5x²＋2.5x＋3.

（2）由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-2.5.本题是常见的直线上的相关最值问题，可通过对称，构造基本图形，连接MC，如下图示：

      由抛物线的对称性可得MC＝MD，所以｜MB－MD｜＝｜MB－MC｜，根据“两点之间线段最短”或“三角形的三边关系”，不难得到｜MB－MC｜≤BC＝√2，当点M在直线BC上时，｜MB－MC｜最大，｜MB－MD｜的最大值为√2.如下图示：

      对于直线BC：y=-x-3，当x=-2.5时，y=-0.5,所以符合条件的最大值的点M(-2.5,-0.5).

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（3）根据题意可画出如下图：

      由题干精析知：△ABC是直角三角形，且BC：AC＝1/3.因此当Rt△APQ的一个锐角∠PAQ=∠BAC或∠PAQ=∠ABC时，两三角形相似.

      即当tan∠PAQ＝tan∠BAC＝1/3或tan∠PAQ＝tan∠ABC＝3时，两三角形相似.（在坐标系中常用此法——“斜化直”：转化为坐标间的关系），若设(t，0.5t²+2.5t+3），则PM＝t，MA＝y_P-y_A=0.5t²+2.5t.

      所以有tan∠PAQ＝PM/MA＝1/3或3，即PM＝1/3MA或PM＝3MA，即：

      t=1/3(0.5t²+2.5t)，解得t=0(舍去)，t=1，此时对应的点P（1，6）.

      或：t=3(0.5t²+2.5t)，此方程的两实根均为负数，不符合题意.

      综上所述，存在点P（1，6）,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.

【延伸与拓展】

在原题的基础上继续思考：

(4)点P为对称右侧抛物线上的一动点,连结PA，过点P作PQ⊥直线AC于M，,问:是否存在点P,使得以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：（-1，1）

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