2018年江苏淮安中考压轴倒二 (新定义、三角形与相似)

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建议阅读：

（2018·淮安）如果三角形的两个内角α 与β 满足 2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.

(1) 若△ABC是"准互余三角形",∠C>90°,∠A=60°,则∠B=__;

(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是”准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.

(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是”准互余三角形”,求对角线AC的长.

【图文解析】

(1)根据“准互余三角形“的定义可得2∠B+∠A=90°,所以∠B＝0.5(90⁰-∠A)=15⁰.

(2) 若存在一点E，使得△ABE也是准互余三角形，则2∠EBA+∠EAB＝90⁰.

显然需将2∠EBA转化为一个角，可利用角平分线的对称性，构造射线BF,交AE的延长线于F，使∠ABF＝2∠EBA.则有∠AFB＝90⁰，如下图示：

    进一步，根据两角相等，不难得到：△BEF∽△BAC，根据相似的性质，可得： BF：EF＝BC：AC＝5：4，可设BF＝5t，EF=4t.如下图示：

   在Rt△AEC中，CE＝AC/tan∠AEC＝AC/tan∠BEF＝4÷(5t)/(4t)=3.2

BE=BC-CE=5-3.2=1.8.

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（3）类似（2），先将∠ABD=2∠BCD通过对称进行转化：作△BCD关于BC对称的△BCE，可得到BE＝BD，CD＝CE＝12，∠DCE＝2∠BCD，从而得到∠ABD＝∠DCE.如下图示：

      在四边形BDCE中，∠BDE＝∠E＝90⁰，由四边形内角和的定理可得∠DBE+∠DCE＝180⁰，进一步，得∠ABD+∠DBE＝180⁰，即A、B、E三点共线.

      又△ABC是“准互余三角形”，根据定义可得：2∠ACB+∠BAC=90°或2∠BAC+∠ACB=90°.

      由于2∠ACB+∠BAC＜ACE+∠BAC＝90⁰，所以只有2∠BAC+∠ACB=90°存在.又因∠E＝90⁰，得∠ACE+∠CAE＝90⁰，所以2∠BAC+∠ACB=∠ACE+∠CAE，如下图示：

【变式训练】

      如图,在四边形ABCD中, CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是”准互余三角形”,AC＝20，求AB的长.

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