2018年江苏淮安中考压轴倒一 (面积及最值相关，一次函数、正方形与相似或三角函数)
声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！
（关注公众号后，输入对应数字(请阅读文章末尾的相关关键词和对应的内容)，有您需要的内容）
建议阅读：
初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
(2018·淮安市)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=−2/3x+4 的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发，在线段 AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点 O停止运动。点 A关于点P的对称点为点 Q，以线段PQ为边向上作正方形 PQMN。设运动时间为 x秒.
(1) 当t=1/3秒时，点Q的坐标是__________.
(2 ) 在运动过程中，设正方形 PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
(3)若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出运动过程中OT+PT 的最小值.
【图文解析】
【题干解读】
由“一次函数 y=−2/3x+4 的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点”可得：A（6，0），B（0，4）,得OA＝6，OB＝4.由“动点P……“引发的相关图形与结论如下图示：
【逐题解析】
(1)结合题干解读可得：当t＝1/3时，AQ＝6×1/3＝2，所以OQ＝OA－AQ＝4，所以Q（4，0）.
(2)首先判断点P在运动过程中，正方形PQMN与△AOB重合部分的各种情形，如下图示：
再判断出各种图形的“过渡“状态，如下图示：
此时3t=4,得4/3.
下面用动画观察验证：
下面逐个分析各种情况
情 形一：
得到S△HEN＝0.5×t×3t/2=3t2/4,从而S＝S阴＝(3t)2-3t2/4=33t2/4，此时0＜t≤1.
情形二：
S＝S阴＝S矩形－S△HEN
＝3t(6-3t)-3t2/4=-39t2/4+18t，
(此时1＜t≤4/3).
情形三：
S＝0.5(2t+4)×(6-3t)=-3t2+4,此时4/3＜t≤2.
综上所述，所求的函数解析式为：
(3)试题再现：若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出运动过程中OT+PT的最小值.
如下图示：
本题中含有正方形，而正方形处处存在着对称和相等的量，同时在几何中的最值问题常通过对称或相等的量进行转化解决，图中显然有PT＝NT，所以OT+PT＝OT+NT≥ON，如下图示：
所以，当点O，T，N三点在一直线上时，OT+PT最短.
另一方面，由于PA＝PN，若连接AN，则有∠PAN＝450（定值），而点P在OA上，A为定点，所以N点的运动路径为：过A点且与x轴构成450的角的直线（即直线y=-x+6）上运动，如下图示：
综上，不难得到所求OT+PT的最小值的点应为：
此时，Q与O重合，不难求得：OT+PT=OT+TN=OAcos450＝3√2.
【拓展延伸】
若连接BN和BT，继续探索：
（1）求BN的最小值；
（2）当△BNT为直角三角形时，求t的值.
答案：（1）√2；（2）4/3和2/3.
关注公众号后，输入下列关键词,可得到：
（本公众号部分已设定的关键词，如下：——今后将逐步更新关键词，大家可随时关注相关群和文章的通知）
1——几何画板视频教程（622分钟）
2——精彩回顾（所有文章）
3——上学期培优系列汇总
4——中考复习（视频资源）
5——一个公式还原魔方
6——2017中考压轴分类
7——本人云课网站详细目录
8——2017年中考压轴解析
9——2017年中考填选压轴
10——中考第一轮复习文档下载地址和密码
11——中考第一轮复习34课时
12——优思数学网app
13——顶尖中考数学微专题－说明与购书方法
14——《顶尖中考微专题》视频解析（1487分钟）
888——可得到快速搜索本公众号文章的技巧
djpyzt——顶尖培优专题系列丛书相关
fjzjkj——九下质检课件
zkyzx——中考专项训练—圆
cqxx——暑期超前学习目录