2018年湖北襄阳中考压轴题倒二（正方形旋转）
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（2018·襄阳）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：AG/BE＝______；
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝______．
【图文解析】
（1）本小题属基础题，只做简要解析
①由“三直角”得矩形+"邻边相等”(由角平分线的性质得GE＝GF)，可以证明四边形CEGF是正方形.
②由EG∥AB可得CG/AG＝CE/BE，进一步，得AG/BE＝CG/CE＝√2.
（2）这是一个典型的“旋转相似“的基本图形（相当于共直角顶点的两等腰直角三角形旋转），因AC/BC＝CG/CE＝√2：1，且∠ACG＝∠BCE＝900－∠ACE，可得△ACG∽△BCE，如图示：
由相似三角形的性质，即可得到AG/BE＝AC/BC＝√2：1.
【拓展延伸】
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转任意角度，线段AG与BE之间的数量关系总保持：AG/BE＝√2：1.如下图示（展示部分图形）：
观察动态演示.
（3）原题展现：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2√2，则BC＝______．
【图文解析】
由（2）知：AG/BE＝√2：1，又AG＝6，可得BE＝6/√2＝3√2.同时，共顶点的两等腰直角三角形旋转时，又可得到：
在直角△CDH中,由勾股定理,得：
所以BC＝CD＝3a＝3√5.
当然也可用以下解法：
【拓展延伸】
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6， BC＝3√5，则GH＝______．
答案：GH＝2√2.
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