2018年湖北省随州市第10题－选择压轴（抛物线与增减性）

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2018年湖北省随州市第10题

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如图1所示，已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝－x＋c与抛物线y＝ax²＋bx＋c交于C、D两点，D点在x轴下方，横坐标小于3，则下列结论：

①2a＋b＋c＞0；②a－b＋c＜0；

③x(ax＋b)≤a＋b；④a＜－1．

其中正确的有（     ）.

A．4个         B．3个              

C．2个         D．1个

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【图文解析】

因为对称轴是直线x=1，所以-b/2a=1，因此2a+b=0，而由图1中的抛物线与y轴正半轴交于点C，所以c>0，因此2a+b+c>0，所以①正确；

因为点D在x轴下方，横坐标小于3，所以由该二次函数的增减性可知，x=3时，y<0，从而根据抛物线的对称性，如图2，当x= -1时，y=a—b+c<0，所以②正确；

      如图3，x(ax＋b)=ax²+bx，因为x=1时，y=a+b+c，又由该抛物线的对称轴是直线x=1，所以a+b+c是该二次函数的最大值，因此a+b+c≥ax²+bx+c，所以x(ax＋b)≤a＋b，因此③正确；

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      如图4，因为直线y=—x+c与抛物线y=ax²＋bx＋c交于点D，所以联立函数解析式，可得ax²＋bx＋c=—x+c，解得x₁=0，x₂=—（b+1）/a，因此—（b+1）/a<3，由a<0，即有b+1<-3a，而b= -2a，代入即有a<-1，所以④正确，从而四项全部正确，所以答案选A.

【拓展】

如图5，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中

①abc＞0；②2a+b＞0；③4a-2b+c＜0；④3a+c＞0；⑤c-a＞2.

正确的个数是（　　）

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