2018年湖北襄阳中考压轴题倒一（抛物线与相似及三角函数）

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建议阅读：

初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）

（2018·襄阳）直线y＝－3/2x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y＝－3/4x²＋2mx－3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；

（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．

①当∠DPE＝∠CAD时，求t的值；

②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN＝EM时，求t的值．

【图文解析】

(1)由直线解析式不难得到A（2，0），B（0，3），由抛物线过A点，可得关于m的方程，解之即可得m=3，所以抛物线的解析式为y＝－3/4x²＋6x－9＝－3/4（x-4）²+3，得顶点D（4，3），进一步得到抛物线与x轴的另一交点C（6，0）.

(2)法一：由A、B、C、D点的坐标，不难得到AB＝AD＝√13，当∠DPE＝∠CAD时，不难得到：∠1＝∠2＝∠3＝∠4，如下图示：

进一步得到：PQ∥AB，又AC∥BD，从而四边形ABPQ是平行四边形，得到BP＝AQ，所以有：

      得到2t=4-3t，解得t=4/5.

法二：（虽有点麻烦，但却是通法）

当∠DPE＝∠CAD即∠1＝∠2时，tan∠1＝tan∠2，所以有：

      进一步，得到x_Q－x_P=x_D－x_A，

如下图示：

      所以4-2＝（6-3t）－2t，

解得t=4/5.

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②需要分两种情况讨论：如下图示，

当点N在AB上时，不难得到：

PN＝y_P－y_N＝3t，同时ME＝PN＝3t，EF=y_N=3-3t，PD＝4-2t，AQ＝4-3t.

再通过△PED∽△QEA，得到：ME/EF＝PD/AQ（相似三角形对应高的比等于相似比），即：

当点N在AD上时，可证得E，N两点重合，此时PQ⊥BD，如下图示：

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【拓展延伸】

若最后一小问改为：②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当2PN＝EM时，求t的值．（解法类似，略去）

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