2018年中考浙江金华第24题——倒一压轴（正方形与等腰三角形）
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2018年中考浙江金华第24题
（2018·金华）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG＝GF，求BC的长．
（2）已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
【题干解读】
由“在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12”说明此直角三角形尚未确定，是一个动态直角三角形，由“点D在直线CB上”说明点D是一个直线CB上的一个动点，而四边形ACDE是个矩形，可得到多个直角和多对线段相等，而点F、G是直线与直线的交点，画图时要特别关注，否则图形容易画不出或画错．由此看出：依据各个小题的条件画出正确的图形是解决本题的关键．
【图文解析】
（1）当点D在线段CB上，四边形是正方形时，如下图示：
由“正方形ACDE”可得到无数个完美的结论，如：就图中因平行而得到的相似现成的就有多对：△AEF∽△BCF，△AGE∽△BGD∽△BAC，△ACF∽△GEF等.，由此得到的相关结论……
①当G为DE的中点时，通过全等，不难得到：（如下图示）：
根据勾股定理，得AG=6√5，进一步地，
有：FG/AF＝EG/AC＝1/2，所以FG＝1/3×AG＝2√5．
②当DG＝GF时，由正方形的对称性和三角形的内外角的性质，不难得到：
900－α＝2α，解得α＝300，如下图示：
因此BC＝AC/tanα=12√3．
（2）当BC＝9时，△ABC可解，是确定的，且根据勾股定理，可得AB＝15，进一步得到BC：AC：AB＝3：4：5，由“题干解读”知：△BDG∽△BAC，从而BD：DG：BG＝3：4：5，可设BD＝3x，DG=4x，BG=5x．
另一方面，由于D是在直线CB上的动点，因此要根据点D的位置进行讨论：
①当点D在线段CB上时，此时只有一种DG＝FG可能，如下图：
即x2－6x＋5＝0，
解得x1＝1，x2＝5（舍去）
当x=5时，9-3x<0，不舍题意，
所以腰长GD为＝4x＝4．
②当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF＝DG，如下图示：
解得x1＝1（舍去），x2＝5
当x=1时，3x-9<0，不合题意，
所以腰长GD为＝4x＝20．
③当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF＝DG，
【反思】本题解答过程中的图形复杂，需要梳理好线段间的关系，整个解题过程，用的就是相似或三角函数，特别要注意在动态变化过程中，△BGD与△ABC永相似，因此三边的比保持不变，事实上所以的相关图形在变化过程中，均保持同样的相似或比值相等关系，其中第三、四问所用到的辅助线也是最常见的（构造母子Rt△或等腰三角形“三线合一”）．
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