2018年湖北省随州市第16题—填空压轴（中点与四边形）
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2018年湖北省随州市第16题
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．给出下列判断：
①AC垂直平分BD；
②四边形ABCD的面积S＝AC·BD；
③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；
④当A、B、C、D四点在同一个圆上时，该圆的半径为25/6；
⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为678/125．其中正确的是_________．（写出所有正确判断的序号）
【图文解析】
因为AB=AD=5，所以A在BD的垂直平分线上，而BC=CD，所以C在BD的垂直平分线上，因此AC垂直平分BD，所以①正确；
因为AC⊥BD，所以S＝0．5AC×BD，因此②错误；
如上图，当四边形FGHI是正方形时，FG=GH，所以由中位线定理，可得AC=BD=8，因为AC垂直平分BD，设点E是BD的中点，所以BE=0.5BD=4，因此AE=3，此时EC=5，所以BC=>AB，所以该四边形可能是正方形；
如下图，若A、B、C、D四点在同一圆上时，∠ABC+∠ADC=180°，而易证△ABC≌△ADC，所以∠ABC=∠ADC=90°，从而AC是的直径，因为AC垂直平分BD，设点E是BD的中点，所以BE=0.5BD=4，因此AE=3，设该圆的半径为R，所以OE=R—3，由勾股定理可得OB2=OE2+BE2，所以(R-3)2+42=R2；
解得R=25/6，所以④正确；
如下图，因为△ABD与△EBD关于BD对称，所以EB=AB=AD=ED=5，因为BF⊥CD，所以由勾股定理可得BD2—BF2=ED2—EF2，因此82—(x+5)2=52—x2，解得x=1.4，而四边形ABED是菱形，过点E所以ES·AB=0.5AE·BD，因此ES=4.8，因为ES//FT，所以ES/FT=BE/BF，因此FT=768/125，所以⑤错误；
综上①③④正确.
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