2018年广西南宁中考压轴题倒二(圆与三角形相似）

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建议阅读：

初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）

（2018·南宁市）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交 GB的延长线于点P，连接BD．

（1） 求证：PG与⊙O 相切；

（2）若EF/AC=5/8，求BE/OC的值；

（3）在（2）的条件下，若⊙O 的半径为 8，PD＝OD，求OE的长．

【图文解析】

（1）如图所示，连接BO并延长交⊙O于点H，连接CH，则可得∠A=∠H=∠CBG，又因∠H+∠HBC=90°，则∠HBC+∠CBG=90°，即PG⊥半径OB，PG与⊙O相切。

（2）从条件出发，易想到从AC出发，通过构造与△BEF相似的直角三角形，利用比例关系来解题，因此连接AD，如下图示，则∠DAC=90°，且弧AC所对的圆周角∠ADC=∠ABC，则△ADC∽△FBE，EF/AC=BE/DC=5/8，因此BE/OC=5/4.

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（3）由PD=DO，及PG为切线，自然会想到连接BO，如下图示，在Rt△POB中，易得∠POB=60°，在等腰△BOC中，∠OCB=30°，由BO=8，可得BC=8√3，又因BE/OC=5/4，则BE=10。

在△BEC中，设BC边上的高EF=x，则其余各线段长度如图所示，在Rt△BEF中，利用勾股定理，得BE²=BF²+EF²，即100=x²+(8√3-√3x)²，可求得x₁=6+√13(舍去)，x₂=6-√13，则CE=2x=12-2√13，因此OE=OC-CE=2√13-4.

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【反思】

1.抓住同弧所对的圆周角相等，找到相等的圆周角；

2．将复杂的图形分离出来，能够让我们更易理清解题思路，使得图中的边角关系更加清晰。

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