2018年广西省南宁市中考压轴题倒一(直角三角形与最值)
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（2018·南宁市）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM＋AN的最小值．
【分析】（2）在△CMN中，∠MCN为固定大小的角，当△CMN是直角三角形时，存在两种情况，∠CMN=90°或∠CNM=90°，只需设出点M 坐标，再利用cos∠BCO=4/5，表示出各线段长即可．
（3）要求出AM＋AN的最小值，我们熟悉的是“将军饮马”模型，但本题中M、N分别是线段上的动点，而点A是定点，故需将已知条件转化为直线上的动点及直线外的两个定点来解决，通过CM=BN，构造全等三角形，找出所需图形．
【图文解析】
（1）不解析，抛物线解析式为y＝－1/6x2＋5/6x＋4，D点坐标为（3，5）.
(2)设点M（0，m），
①当∠CMN=90°时，如下图示，则CM=4-m,可求得CN=CM/cos∠BCO=5/4（4-m），由CM=BN及CN+BN=BC，可得：5/4（4-m）+（4-m）=5，求得m=16/9．
②当∠CNM=90°时，如图所示，则CN=4/5CM=4/5（4-m）,同理，4/5（4-m）+（4-m）=5，求得m=11/9．
综上所述，点M坐标为（0，16/9）或（0，11/9）.
(3)由于MN为动点，且CM=BN，又因∠CBA+∠OCB=90°，则过点C作BC的垂线CA’，并截取CA’=BA=6，则∠A’CM=∠ABC，连接A’M，则△CA’M≌△BAN，可得A’M=AN，则AM＋AN=A’M＋AN，且点A、A’为固定点，点M为线段CO上的动点，且A、B关于直线CO对称，因此A’M＋AN的最小值即为线段AB的长，在Rt△A’BC中，利用勾股定理易得A’B=√（A’C2+BC2）=√（52+62）=√61.
【反思】
(1)在解决直角三角形问题时，往往根据哪个角是直角进行分类讨论．
(2)虽然MN都是动点，但是他们之间联系的纽带是“CM=BN”，抓住这个特点，再找到我们熟悉的图形背景，即可构造三角形全等，将陌生的图形转化为熟悉的基本图形．
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