2018年中考浙江金华第23题—倒二压轴（双曲线与特殊四边形）
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（2018·金华）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=m/x与y=n/x (x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m＝4，n＝20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【图文解析】
（1）当m=4，n=20时，两函数的解析式为y=4/x和y=20/x，当x＝4时，对应的函数值分别为1和5，所以B（4，1），得D（4，5），
①当点P的纵坐标为2时，即当y=2时，对应的x的值分别为2和10，所以A（2，2）、C（10，2）．
设直线AB为y=kx+b，则有：
②当点P是BD的中点时，P（4，3），类似地，当y=3时，对应的x的值分别为4/3和20/3，即A（4/3，3），B（20/3，3），从而PA＝xP－xA=4-4/3＝8/3，PC＝xB－xP=20/3-4＝8/3，所以PA＝PC，又P是BD的中点，所以ABCD是平行四边形，又因BD⊥AC，所以四边形ABCD为菱形．
（2）若四边形ABCD为正方形，则必须满足ABCD是菱形，且BD＝AC．由于BD⊥AC，所以只需满足PA＝PB＝PC＝PD即可．
不妨设P（4，t），PA＝PB＝PC＝PD＝a≠0，则A（4-a，t），C(4+a，t)，B(4，t-a)，D(4，t+a)，如下图示：
所以m=t(4-a)=4(t-a)，……①
n=t(4+a)=4(t+a)，……②
由①得：4t-at=4t-4a，即at=4a，
因a≠0，所以t=4，
由②得：4t+at=4t+4a，即at=4a，
因a≠0，所以t=4，
将t=4，分别代回到①②，得：
m=4(4-a)，n=4(4+a)
所以m+n=32．
【反思】难得的一道的双曲线与几何结合的试题，思路明确，但更需要重视的是如何计算与化简．
【拓展延伸】
若将第（3）小题的双曲线y=m/x（m>0）改为y=m/x（m<0）呢？如下图示
（类似上述分析）
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