2018甘肃省兰州市第27题倒二压轴（圆与相似）

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(2018·甘肃兰州第27题) 如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点．

（1）求证：DC为圆O的切线；

（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F，且＝45°，圆O的半径为5，sinB=3/5，求CF的长．

（1）如图2，连接OC，

因为AB是圆O的直径，所以，即∠2+∠4＝90⁰，因为OB＝OC，所以∠1＝∠2，又因∠1＝∠3，所以∠3+∠4＝90⁰，即

则半径OC⊥CD，所以DC为圆O的切线。

（2）由∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，可知，∠CFE＝∠CEF＝45°，

即CF＝CE． 在Rt△ACB中，由，AB=10，可得AC＝6,由勾股定理得，BC＝8，设CF＝CE＝x，又因∠CEF=∠3+∠6＝45°，∠CFE=∠1+∠5＝45°，又因为∠1＝∠3，所以∠5＝∠6，所以△BFD∽△CED，如图3，

由∠CFD＝∠AED＝45°，∠5＝∠6，可得△CFD∽△AED，如图4

【小结】

求线段长的题型，可以设所求线段长度为x，根据勾股定理或相似来列出有关x的方程，继而求出线段长度.

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