2018年中考湖北荆州第24题——倒二压轴（面积与二次函数）

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(2018·荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地上，垂直于墙的边AB=x m，面积为y m²（如图）.

      （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

      （2）若矩形空地的面积为160 m²，求x的值；

      （3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.

	甲	乙	丙
单价（元/棵）	14	16	28
合理用地（m2/棵）	0.4	1	0.4

【图文解析】

      如图1，因为AB=CD=x，所以BC=36-2x，因此y=x（36-2x）= -2x²+36x，此时应有x>0且0<36-2x<18，所以9<x<18;

（2）因为矩形空地的面积为160 m²，所以-2x²+36x=160，解得x₁=10，x₂=8（舍去）；

（3）因为y=-2x²+36x=-2（x-9）²+162，所以空地的最大面积为162m²，

设乙种植物购买a棵，丙种植物购买b棵，则甲种植物购买（400-a-b）棵，所以14（400-a-b）+16a+28b=8600，化简可得b=（1500-a）/7，所以b随a的增大而减小，因为b是正整数，所以当a=2时，b=214，此时丙种植物最多；

此时乙种植物的数量为400-2-214=184棵，所以甲、乙、丙三种植物的总种植面积为0.4×184+1×2+0.4×214=161.2<162m²，因此可以将全部植物种植在空白区域.

注：这道题若设甲种植物购买a棵，丙种植物购买b棵，则会得到b=（1100+a）/6，讨论比较麻烦，所以这样的设元方式是不太好的.

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【拓展】

在足够大的空地上有一段长为a米旧

墙MN．某人利用一边靠旧墙和另三边用总长100米的木栏围成一个矩形菜园ABCD．

（1）如图1，若a=20，所围成的矩形菜园ABCD的面积为450平方米时，求所利用旧墙AD长；

（2）已知0<a<50，且空地足够大，如图2，请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大值，并求面积的最大值．

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答案：当0<a<100/3时，围成长和宽均为（25+a/4）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（10000+200a+a²）平方米，当100/3≤a<50时，围成长为a米，宽为（50-a/2）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（50a-0.5a²）平方米.

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