2018年中考江苏苏州第18题——填空压轴（动点与菱形，最值）

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（2018·苏州）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之问的距离最短为         （结果保留根号）．

【图文解析】

      本题的条件中，因两四边形均是有一个角60⁰的特殊菱形，可得到很多有用的结论．但“两中点”的条件无法直接利用三角形的中位线定理，因此可再添加中点，构造符合三角形的中位线定理的条件（常法也是通法）．如下图示，取BC的中点G，连接MG和NG．

      设PA＝x，则PB=8-x，CE＝8-x-x=8-2x，不难证明：MG＝0.5AB＝4，NG＝0.5CE=4-x，同时∠MGN＝120⁰．

或：

设PA＝x，则PB=8-x，CE＝x –(8-x) =2x-8，不难证明：MG＝0.5AB＝4，NG＝0.5CE=x-4，同时∠MGN＝60⁰．

进一步地，在△MGN中，不难用表示出MN的长，如下图示：

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【反思】本题解析完，总感觉还有更简单的方法，今天实在累，只好先这样了．就留给朋友们自行考虑吧！

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【拓展】若原题中的“∠DAP＝60°“改为tan∠DAP＝3/4呢？

即：

如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，tan∠DAP＝3/4．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之问的距离最短为         （结果保留根号）．

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