2018年广西省玉林市第18题—填空压轴（正多边形与三角形内心）
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(2018·玉林)如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4√3，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2=_________.
【图文解析】
如图，连接O1F，O1B，O1A，作O1T⊥BF于点T，以O1为圆心，O1T为半径作圆与AF，AB相切于点R，S，由于AF=AB，所以AT⊥BF，因为∠AFT=30°，所以AT=0.5AF=3+2√3；
因为在正六边形ABCDEF中，边长是6+4√3，∠A=120°，所以易求得
BF=√3AF=12+6√3，设△AFB的内切圆半径O1T=r；
因为S△AFB=S△AO1F+S△AO1B+S△FO1B，所以（AT×BF）/2=r×（BF+AB+AF）/2，因此（3+2√3）（12+6√3）=r（24+14√3），解得r=3；
如图，O1O2=O1T+TK+KO2=2r+TK=
6+6+4√3=12+4√3.
【拓展】
如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，若AF=2，则PQ的长度为何？（ ）.
A. 1 B.2 C. 2√3-2 D.4-2√3
【提示与答案】
连接AP，FP，CP，FQ，CQ，因为P，Q分别是△AFC与△EFC的内心，且易证△AFC≌△EFC，所以PF=QF，∠PFQ=60°，因此△PFQ是等边三角形，作PT⊥AF于点T，以P为圆心，PT为半径作圆，设PT=r，则易得TF=√3r，PF=2r，AT=r，所以r+√3r=2，解得r=√3-1，所以PQ=PF=2r=2√3-2，答案选C.
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