2018年中考广西玉林第25题——压轴倒二（平行四边形与解三角形）
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如图，在平行四边形ABCD中，DC>AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E、F，过点E、F分别作DC与AB间的垂线MM’与NN’，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M’，N’，连接EF.
（1）求证：四边形EFNM是矩形；
（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长.
【图文解析】
如图1，延长BF交CD于点K，因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠1=∠2=∠5=∠6，∠3=∠4=∠7=∠8=∠9，所以CK=CB，而∠6+∠7=90°，因此∠CFB=90°，BF=FK；
易证△ADE≌△CBF，所以DE=FB=FK，因为∠4=∠9，所以DE//FK，因此四边形DEFK是平行四边形，所以CD//EF，因为EM//FN，FN⊥CD，所以四边形EFNM是矩形.
（2）如图2，过点E作ET⊥AD于点T，因为∠AED=90°，所以AD2=DE2+AE2，因此AD=5，所以ET=2.4，因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以ET=EM=EM’=2.4，因此AM’=3.2，易证四边形EFN’M’是矩形，所以EM’=FN’=2.4，因为∠8+∠1=90°，∠1+∠AEM’=90°，所以tan∠8=tan∠AEM’=4/3，因此BN’=1.8，所以M’N’=AB-AM’-BN’=4.
【拓展】
如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，AD=8，点E、F分别是边BC、AD的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是________.
答案：4+4√3
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