2018年广西柳州第26题—倒一压轴（抛物线与最值）

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   本文内容转载自林玲老师的公众号”霁景“的文章，扫描下列二维码关注.

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（2018·柳州）如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A(，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF⊥x轴垂足为F，交直线AD于点H．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；

(3) 当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ＋EQ的最小值．

（1）入手：审题的同时，求出可以求得的数据.

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（2）动点问题：设参数①→表示相关点坐标或线段长度②→求解③.

∵ 点P是x轴下方抛物线的一个动点，

①设点P（m，m²＋m－3）．

                    （－3< m <）

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②则AF＝－m，PF＝3－m²－m．

∴FH＝AF＝(－m)．

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③∵FH＝HP，则PF＝2FH，

∴(－m)＝m²＋m－3．

解得：m＝(舍去)或m＝－．

故m的值为－．

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（3）转化：连接AH，以AH为边构造相似三角形，将AQ转化为某一个固定点的线段，再由三点共线计算出AQ＋EQ的最小值．

当直线PF为抛物线的对称轴时，则

F(－2，0)，P(－2，)，

H(－2，－2)，

连接CH，HC＝1=AH．

∵AF＝AC＝2，∠FAH＝∠CAH，AH＝AH，

∴△AHF≌△AHC(SAS)．

在HA上截取HM＝，则AM＝4－＝．

∵＝，＝，

∴＝，且∠QHM＝∠AHQ，

∴△QHM∽△AHQ，

∴＝，则AQ＝MQ,

∴AQ＋QE＝QM＋QE．

∵点E、M是定点，故当点M、Q、E共线时，QM＋QE的值最小，即最小值为线段ME的长．

在Rt△AEM中，由勾股定理可知：

ME＝

＝

＝．

解题后的思考：

 本题第（3）小题的难点在于转化，决定要先找出满足1:4的固定线段，再找与动点有关的比例关系.知道方法的同时还要多加练习才能掌握并应用它.

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