2018年中考江苏苏州第27题——倒一压轴（动点与等腰三角形，正方形及函数应用）
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（2018·苏州）如图①，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上．小明从点A出发，沿公路l向两走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处．设AE＝x米（其中x＞0），GA＝y米．已知y与x之间的函数关系如图②所示．
（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由．
【图文解析】
（1）图②可两点M、N的坐标分别为M，N两点的坐标分别为(30，230)，(100，300)，可设线段MN所在直线的函数表达式为y＝kx＋b．直接将两点坐标代入，可得：
（2）读懂图象上的点的坐标与实际问题的联系，是解题的关键.由MN的所在的直线解析式y=x+200及x、y所表示的意义知：AE＝x，GA=y=x+200，同时ABCD是边长为100的正方形，AB＝BC＝CD＝AD＝100，所以相应的DE＝100+x，DG＝x+200-100=x+100．如下图示：
不难得到DE＝DG＝x+100.
下面分三种情况讨论：
①首先说明FE＝FG不成立．理由如下：连接EC．如下图示：
不难得到，CE=CG，则∠G＝∠CEG＜∠FEG，因此FE≠FG．
②当FG＝EG时，如下图示：
在Rt△CDG中，CD＝100，GD＝x＋100，CG＝2x＋100，由勾股定理，得：1002＋(x＋100)2＝(2x＋100)2，
解得x1＝－100（舍去），x2＝100/3．
③当EF＝EG时，类似第二种情况，如下图示：
在Rt△ABE中，AE＝x，AB＝100，BE＝2x＋100，由勾股定理，得：
1002＋x2＝(2x＋100)2，解得x1＝0，x2＝－（不合题意，均舍去）．
综上所述，当x＝100/3时，△EFG是一个等腰三角形．
【反思】读懂图象上的点的坐标与实际问题的联系，是解题的关键，同时要注意分类讨论，通常在含有直角的图形中，可通过设元，转化为用勾股定理来解决．
【拓展延伸】在原题的背景下，△EFG是否可能成为直角三角形？
提示：解法类似，因又多了个直角，因此还可以用三角函数的定义（即解三角形）来解决问题更方便.答案也是唯一的．请大家自行考虑.
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