2018年山东东营第25题—倒一压轴（抛物线与四边形、面积）

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   本文内容转载自林玲老师的公众号”霁景“的文章，扫描下列二维码关注.

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题目：如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．

(1) 求线段OC的长度；

(2) 设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

(3) 在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）审题

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抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点

→A(1，0)，B(3，0)

抛物线上另有一点C在x轴下方

→1<Cx<3

△OCA∽△OBC

→→OC＝.

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（2）中点坐标应用求解

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直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点

→（依据斜边上的中线等于斜边的一半.）D(，0)

→（勾股定理，在△OCD中）C(，)

→l_BM：，（点C在抛物线上.）a＝.

∴抛物线的解析式为：y＝(x－1)(x－3)＝x²－x＋2． 

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（3）割补法、铅垂高求面积

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如图，∵S_{四边形ABPC}＝S_△ABC＋S_△BPC，S_△ABC是常量，S_△BPC的面积随点P的位置变化而变化，

已知点B(3，0)，C(，)，l_BM：．

设点P(p，p ²－p＋2)．

过点P作x轴的垂线，交BC于点N．

则点N (p，p－)，

∴ 当时，S_△BCP有最大值.

代入可得，此时点P的坐标为（，）．

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