2018年中考湖北随州第24题——倒一压轴（二次函数与全等三角形）
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（2018·随州）如图1，抛物线C1：y＝ax2－2ax＋c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（－1，0），点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k
（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值；
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y＝－1上是否存在点N，使得P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【图文解析】
（1）如图1，因为A（-1,0），所以OA=1，OC=3，即C（0,3），因此可求得抛物线C1的解析式为y＝－x2＋2x＋3，顶点G的坐标为(1，4)
（2）如图1，作G’D⊥x轴于点D，因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以向下平移k个单位可得抛物线解析式为y=-（x-1）2+4-k，而△G’A’B’是等边三角形，所以A’B’=2G’D，因此G’D=4-k=√3A’D，设A’(m,0)（m<0）,则有A’D=1-m，所以可得方程
-（m-1）2+4-k=0①，4-k=√3（1-m）②，②代入①，解得m=1-√3，（m=1舍去），所以k=1.
（3）由（2）可知，抛物线C2是由抛物线C1向下平移一个单位得到的，因此C2的解析式为y=-（x-1）2+3，则PQ=1=AO；
①当PQ在x轴上方时，则如图2，△PQN1≌△AOQ，记PQ与直线y=-1的交点为K，所以OQ=QN1，∠AOQ=∠PQN1，因此∠QOM=∠N1QK，而∠QMO=∠QKN1=90°，所以△OQM≌△QN1K，因此OM=QK，QM=N1K，设OM=m，则QM=-（m-1）2+3，所以QK=QM+MK=
-（m-1）2+4=m，由m>0，,得m=（1+√13）/2，所以N1K=QM=（√13-1）/2，则N1（1,-1），根据对称性可得N2（√13，-1）；
②如图3，当PQ在x轴下方时，△PQN≌△OAQ，同①理，△OMQ≌△PN3K，所以OM=KP=m，KP=QM-MK-PQ=
（m-1）2-3-1-1=（m-1）2-5=m，由m>0，解得m=4，因此N3（-2，-1），N4（10,-1）.
【本题的关键思路的点拨】
利用条件中的三角形全等发现与之相关的另一对直角三角形的全等，从而建立起图形与坐标之间的联系，这种“化斜为直”的思想在难题的解决过程中是经常使用的一种策略.
【拓展】
已知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-4,0），B（1,0），与y轴正半轴交于点C，tan∠CAB=0.5.
（1）求抛物线的解析式并验证Q（-1,3）是否在抛物线上；
（2）点M是线段AC上一动点（不与A，C重合），过点M作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于点N，试判断当MN为最大值时，以MN为直径的圆与y轴的位置关系并说明理由；
（3）已知过点B的直线y=x-1交抛物线于另一点E，问：在x轴上是否存在点P，使以点P，A，Q为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：（1）y=-0.5x2-1.5x+2；
（2）以MN为直径的圆与y轴相离；
（3）P（22/5,0）或（-13/7,0）.
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