2018年辽宁省锦州市第24题倒二压轴（菱形与三角函数）

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(2018·锦州) 如图1，以平行四边形ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上,连接BE,交AF于点G。

（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由：

（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变。

①如图2，若∠ADC=60°，求DG/BH的值；

②如图3，若∠ADC=a（0°＜a＜90°），直接写出DG/BH的值，（用含a的三角函数表示）.

【图文解析】

（1）简析：BG＝EG，理由如下：

如图4，

因四边形ABCD是平行四边形，CDEF是菱形，易得AB平行且等于EF，所以∠1＝∠2，也易证△ABG≌△FEG，所以BG＝EG.

（2）如图5，

在平行四边形ABCD中，设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，当∠ADC=60°时，易得△EFD，△HAD是正三角形，所以AH＝AD= y,CD＝DF＝x,

则BH=AB+AH=x+y,

由（1）得△ABG≌△FEG，所以GF=1/2AF=1/2(AD－DF)＝1/2(y-x)，所以DG＝DF+GF＝x+1/2(y-x)=1/2(x+y)，

（3）如图6，

    在平行四边形ABCD中，设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，当∠ADC=a（0°＜a＜90°）时，由已知条件易得△EFD，△HAD是底角为a的等腰三角形，分别过点C和点H作CM⊥AD于点M，HN⊥AD于点N，在Rt△CMD和Rt△HAN中，由三角函数可求得:

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【反思】

（1）对于这种求有关线段比的题目，经常可以设一些参数来表示有关线段的长度，这样运算相对会更简单.

（2）要熟练掌握用三角函数来求有关线段的长度.

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