2018年广东省第24题—倒二压轴(与圆与相似及三角函数)

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   本文内容转载自林玲老师的公众号”霁景“的文章，扫描下列二维码关注.

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建议阅读：

初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）

题目：如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．

(1) 证明：OD//BC；

(2) 若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切；

(3) 在(2)条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长．

怎么考？

中考数学中圆的题目多用于考查三角形的相关性质应用，解题中关于角要多多考虑三角形的边角关系、等腰三角形、垂直平分线等等知识点，求取线段长度多考虑相似（全等）的作用.

解题

（1）

OA=OC→点O在线段AC的垂直平分线上

AD=CD→点D在线段AC的垂直平分线上

∴ OD垂直平分AC.

 AB为直径→∠ACB=90°．

由同位角相等得，OD//BC.

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（2）DA与⊙O相切←∠OAD＝90°←因为已知条件中未有明确的角条件，故可以先考虑从线段关系（也就是勾股定理）去得到90°.

由tan∠ABC＝2可设BC＝a，

则AC＝2a，AB＝a＝AD，AE＝a，OE＝0.5a，OA＝a

∴OD＝OE+DE=0.5a+=2.5a

∴在△AOD中，AO²＋AD²＝＝OD²

∴∠OAD＝90°
∴DA与⊙O相切.

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（3）连接AF，由（2）可知相关线段长度.

BC＝1，则AB＝＝AD， BD=AB=，DE=AC=2，OD=2.5.

 要求EF，可以找到它所在的三角形，通过相似求线段长，

 由△AFD∽△BAD得DFBD＝AD².

由△AED∽△OAD得ODDE＝AD².

从而△EDF∽△BDO，

∴，得EF＝.

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解题后的思考：

    每道题在剖析后都会显得简单，它的困难处在于这些简单背后是需要尝试的，尝试各种不正确的情况，去寻找正确路径，发现路不通的情况下要快速切换条件重新上路，这些不是考试中的事，而是平时练习中需要去培养的直觉.

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