2018年福建省A卷第25题倒一压轴（二次函数、圆、三角函数）

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(2018·福建A）已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（0,2），且抛物线上任意不同两点M(x_1,y₁),N(x₂,y₂)都满足：当x_1<x₂<0,时，(x₁-x₂)(y₁-y₂)>0；当0<x_1<x₂时，(x₁-x₂)( y₁-y₂)<0，以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若MN与直线y＝－2√3x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y₁>y₂，解决以下问题：

①求证：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．

【图文解析】

(1)抛物线y＝ax²＋bx＋c过点A (0，2)得到c＝2,

如图1，当x_1<x₂<0时,则x_1－x₂<0，又因(x₁-x₂)( y₁-y₂)>0→y₁-y₂<0，即当x<0时，随着的增大而增大；同理，当x>0时，随着的增大而减小．所以抛物线的对称轴为轴且开口向下，则b=0，可设抛物线的解析式为y=ax²+2；

由圆和抛物线的对称性可得AB=AC. 又因为△ABC中有一个角为，所以△ABC是等边三角形．连接为OC，可得O为△ABC的外心，易得OC=OA=2，∠OCD=30⁰.在Rt△OCD中，由三角函数可求得CD=√3,OD=1→C(√3,-1)，把它代入y=ax²+2得a=-1，所以抛物线的解析y=-x²+2;

（2）①因点M、N在抛物线上，设点M坐标为（x₁,-x₁²+2），点N坐标为(x₂,-x₂²+2)，

因为MN与直线y＝－2√3x平行，

所以设直线MN的解析式为y＝-2√3x+m，

【解题反思】

1．要理解题目中“当x₁＜ x₂＜0时，(x₁-x₂)(y₁-y₂)>0；当0＜x₁＜ x₂时，(x₁-x₂)(y₁-y₂)＜0”，这个条件是函数增减性符号语言的表示方法.

2．如图3，要证两个角相等，在坐标系中，可根据点的坐标特点构造两直角三角形，通过证明这两个角的正切值相等.

3．熟练掌握含参的一元二次方程的解法，是解决本题的关键．

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