2018年广东省第25题—倒一压轴(动点与直角三角形，相似与三角函数)
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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
题目：已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图，连接BC，
（1）填空：∠OBC＝ °；
（2）如图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图，点M、N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止。已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒。设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？（结果分母可保留根号）
考什么？
(1) 基本性质；
(2) 求取线段长度：相似三角形、三角函数；
(3) 路径类动点问题.
解题
(1) 根据旋转的性质知OB＝OC，∠BOC等于旋转角60°，从而△OBC是等边三角形；
(2) 在相对复杂的图形中求取线段长度，相似是很好进行等量代换的工具，对比以下两种解法，实质是一样的.
图1 图2
图1利用等积法求OP：
S△AOC＝
从而OP＝
图2利用三角形相似求解：
从而
（3）路径类的动点问题，难点不在计算，而在于对路径的分析，即如何分类画出图形上。
4 4 | |
M： | O→C→B |
x： | 0→ |
4 4 | |
N： | O→B→C |
x： | 0→4→8 |
得，0→
故从运动路径上看，本小题需分4种情形画图计算.
但4×3÷（1＋1.5）＝4.8，故运动4.8秒后，M、N两点相遇，同时停止运动。
得，0→
故本小题只需分3种情形即可.
①当0<x
NH1＝ON·sin60°＝
∴y＝
所以，当x＝
②当
BM＝8－1.5x，MH2＝BM·sin60°＝
∴y＝
＝
当x＝
③当4≤x≤4.8时，M、N同时在BC上，
MN＝12－2.5x，OH3＝AB＝
∴y＝
＝
所以，当x＝4时，ymax＝
综上所述，ymax＝
解题后的思考：
路径类的动点问题，建议你像这样列表，画出数轴，来确定分类，简单又一目了然.
计算面积时，还要留个心眼，以谁为底和高会更方便计算，例如②中，若还以N为顶点作高，计算就不是那么方便了.
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