2018云南省曲靖市第23题——倒一压轴（抛物线与矩形、相似及存在性）
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2018云南省曲靖市第23题
——倒一压轴（抛物线与矩形、相似及存在性）
（2018·曲靖）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=1/3x-4/3与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2-3x+c的对称轴是x＝3/2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE＝1/3PF，求证PE⊥PF.
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由.
【图文解析】
（1）简析：直线l：y=1/3x-4/3与x轴交于点A，易得点A的坐标是（4，0）；又因抛物线的对称轴是直线x＝3/2.可求得a＝1，则y=x2-3x+c，再把点A坐标（4，0）代入，可得c＝－4，所以抛物线的解析式是y=x2-3x-4.
（2）如图2，
因为直线m是由直线l：y=1/3x-4/3平移而来且过原点，所以直线m的解析式是y=1/3x，因点P是直线m上任意一点，设点P坐标是（m，1/3m）（m＞0），PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，PC＝OB＝m，PB＝OC＝1/3m，所以PB：PC＝1：3，又因为PE＝1/3PF，所以PE/PF=PB/PC=1/3，又因∠PBE＝∠PCF＝90°，所以Rt△PEB∽Rt△PFC，得∠1＝∠2，所以∠FPE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠CPB＝90°，所以PE⊥PF.
（3）设点E的坐标是（a，0），如图3，当点E在点B的左侧时，则a<6,
当（2）中的点P坐标为（6，2），则B（6，0），则PB＝2，BE＝6－a，PC＝6.
当PE⊥PF时，易证Rt△PEB∽Rt△PFC，则
如图4，过点Q作QH⊥x轴于点H，当四边形PEQF是矩形时，易证Rt△QHF≌Rt△EBP，可得QH＝6－a，FH＝PB＝2，所以OH＝CF＝18－3a，当点E在点B的左侧且四边形PEQF是矩形，易得点F在y轴上方，点Q在y轴左侧，
可求得满足条件的另一个点Q坐标是（2，－6）.
综合上述，符合题意的点Q坐标分别是（－2，6）与（2，－6）
【解题反思】
题目条件中含有特殊四边形（矩形）这一条件，解题时一般要从它特有的性质去寻找解题思路.
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