2018年中考湖北鄂州第10题——选择压轴（一次函数与正方形、找规律）

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2018年中考湖北鄂州第10题

——选择压轴（一次函数与正方形、找规律）

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(2018湖北鄂州) 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线分别与x轴、y轴交于点P、Q，在Rt△OPQ中从左向右依次作正方形A₁B₁C₁C₂、A₂B₂C₂C₃、A₃B₃C₃C₄…A_nB_nC_nC_n+1,点A₁、A₂、A₃…A_n在x轴上,点B₁在y轴上,点C₁、C₂、C₃…C_n+1在直线PQ上,再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形,其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左到右的小正方形(阴影部分)的面积分别记为S₁、S₂、S₃…S_n，则S_n可表示为(   ) .

【分析】由直线解析式可求得点P（13，0），Q（0，13/3），OQ：OP：PQ=1：3：√10. 因图中存在多个正方形，可找出许多三角形相似，则从相似可逐步求出阴影面积之间的关系.

【图文解析】从第一个正方形出发，如下图示，易得到△OA₁B₁∽△OPQ∽△C₁B₁Q，设OB₁=m，则OA₁=3m，A₁B₁=B₁C₁=√10m，则B₁Q=10m/3，由OB₁+B₁Q=OQ=13/3，可得m+10m/3=13/3，求得m=1，则OA₁=3，A₁B₁=√10.

接下来先求S₁，如图所示，易得△A₁B₁F≌△B₁C₁E，则A₁F=B₁E=1，因此EF=2，则S₁=2²=4.

最后找出S₂与S₁之间的关系，并推广到S_n，由图可知正方形A₁B₁C₁C₂∽正方形A₂B₂C₂C₃，相似比为A₁B₁/A₂B₂，且正方形DEFG∽HIJK，相似比为EF/IJ，又△A₁B₁F∽△A₂B₂J，即A₁B₁/A₂B₂=B₁F/B₂J=A₁F/A₂J，且A₁F=B₁E，A₂J=B₂I，因此EF/IJ= A₁B₁/A₂B₂，则S₁/S₂= （EF/IJ）²= （A₁B₁/A₂B₂）².

之前求得点A₁（3，0），则A₁P=13-3=10，如下图示，由tan∠OPC₃=tan∠A₁A₂B₂=1/3，可设A₁B₂=n，则A₂B₂=A₂C₃=3n，A₁A₂=√10n，A₂P=3√10n，根据A₁A₂+A₂P=A₁P=10，即√10n+=3√10n=10，可求得n=√10/4，即A₂B₂=3√10/4，因此A₁B₁/ A₂B₂=4/3，即S₁/S₂=（4/3）²，S₂=(3/4)²S₁=3²/4.同理，S₃=(3/4)²S₂=3⁴/4³……Sn=(3/4)²S_n-1=3^2n-2/4^2n-3.

故本题选A.

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【反思】当图中出现若干个正方形时，可以考虑寻找三角形相似或全等来解题，本题中递推往下画出同一类图形，则考虑找出前面几个图形之间的关系，然后将这个关系应用到后面的每一个图形中，从而找出一般的规律.

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