2018年江苏连云港第26题——倒二压轴（抛物线与相似、正方形）

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2018年江苏连云港第26题

——倒二压轴（抛物线与相似、正方形）

（2018·连云港）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y₁＝kx²＋m（k＜0）与y₂＝ax²＋b（a＞0）的部分图像围成的封闭图形，已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，－3）．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；

（3）如图2，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．

【图文解析】

（1）基础（常规）题，答案为：

y₁＝－x²＋1；y₂＝3x²－3．

（2）假设存在正方形EFGH满足条件，如下图示：

   若设x_E=m(0<m<1)，根据抛物线的对称性和解析式，可得到：

  EF＝2m，EH＝y_E－y_H＝(1-m²)-(3m²-3)＝4-4m².

    当四边形EFGH为正方形时，有EF＝EH，所以有4－4m²＝2m(0<m<1)，解得： 

    所以图形ABCD存在内接正方形．

（3）由于C点与E点是对应顶点，且△BCD中的∠BCD为钝角，因此以E为顶点的∠AED也必为钝角，因此有以下几种情况：

以及上述点关于AD对称的点显然也符合题意．如下图示：

下面逐一分析：

情形一：

     显然由DC:DB=DE₁:DA可求得DE₁＝2.5，所以E­₁（-0.5，0）.

情形二：注意到本题中的45⁰的角，再根据对称性，不难得到：

           所以E­₂（1.5，－1）.

情形三：如下图示：

    不难得到AE₃与y轴平行，且AE₃＝2.5（求法与情形一相同）．

   所以E­₃（1，－2.5）.

情形四：类似于第二种情形的解法，

      可得到：

    所以E4（-0.5，－2.）.

     综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即（0，-0.5）或（1.5，－1）或（1，－2.5）或（－0.5，－2）．

【拓展与延伸】

若第三问改成：如图，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得△ADC与△BCE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．

提示：解题思路与原题类似.

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