2018年江苏连云港第16题——选择压轴（矩形与相似或三角函数）

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2018年江苏连云港第16题

——选择压轴（矩形与相似或三角函数）

（2018·连云港）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝√6，则AB的长为________．

【图文解析】

      由AG⊥GF，不难想到如下常见思路（设矩形的两邻边长为2a和2b）和常用辅助线（“一线三等（直）角）:

则由∠1＝∠2，可得tan∠1＝tan∠2，所以2a:b=b:a，可得b²=2a²，所以b=√2×a（负值舍去）．

           又从AC＝√6，根据勾股定理，可得：

因此有：(2a)²＋(2√2a)²=(√6)²，

整理，得：12a²=6，2a²=1,

解得：√2a=1(负值舍去),.

所以AB＝2b=2√2a=2.

【反思】常见的解题思路，常见的辅助线的熟练掌握是解题的关键，同时在含有直角的图形背景中，尽量用三角函数的定义来求解，书写更方便．

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【拓展延伸】如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知∠AGF＝60⁰，AB＝4，求四边形EFGH的面积．

提示：构造“一线三等角”的基本图形．可求得:BC=√3+√11,…．

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