2018年中考江苏泰州第6题—选择压轴（动点与坐标、相似）

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2018年中考江苏泰州第6题

—选择压轴（动点与坐标、相似）

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（2018·泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动.若点P与点Q的速度之比为1:2，则下列说法正确的是

A.线段PQ始终经过点（2,3）

B.线段PQ始终经过点（3,2）   

C.线段PQ始终经过点（2,2）

D.线段PQ不可能始终经过某一定点

【图文解析】

法一：连接OA（转化为三角形解决问题），设OP＝t，则有：

      由OP∥AB，不难得到：△POC∽△QAC，从而OC：AC＝OP：QA＝1：2，所以OC：OA＝1：3．

      进一步地，过C点作CD⊥y轴，得到：

      由CD∥AB，得到：OD：OB＝CD：AB＝OC：OA＝1：3，所以OD＝OB/3＝2，CD＝AB/3＝3．所以C（3，2）为定值．又因点C在线段PQ上，所以不论t为何值，PQ始终经过点C（3，2）．

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法二：如下图示：

      不难得到P（t，0），Q(9-2t，6).

      设直线PQ为y=kx+b，将P、Q两点坐标代入，可得：     

由①得，kt=-b，

由②得，9k-2kt+b=6，

将kt=-b，代入②，得：

9k+2b+b=6，即b=2-3k,.

所以直线PQ为y=kx+2-3k

整理，得：y=K(x-3)+2.

显然当x=3时，y=2，与k的取值无关.

PQ始终经过定点（3，2）．

上述两种方法，显然法一相对简单些，没有计算量，但此法不通用，法二虽然麻烦些，但通用，可用于任何情况下．      

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动态演示：

【反思】在坐标系背景下，此类试题，往往均有两种常用解法，主要解题思路：通过计算（函数或几何）找出定点的坐标．由于t的任意性，从而得到证明．

【拓展延伸】平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，经过点C（5.4，3.6）的直线与x轴交于P点，与线段AB交于Q，则OP：AQ的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.

提示：是定值，为3：2.

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