2018年中考江苏泰州第16题—填空压轴（动点、直角三角形与圆、三角相似）

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2018年中考江苏泰州第16题

—填空压轴（动点、直角三角形与圆、三角相似）

如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=5/13,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心、PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为         .

【图文解析】

首先，从Rt△ABC中，AC＝12，sinB=5/13，不难求出△ABC的三边长及所有相关的数据，如下图：

由勾股定理，不难得到AB＝13，BC＝5，再由旋转的性质知：∠A′=∠A，A′C=AC=12，A′B′=AB=13.

当⊙P与△ABC的边相切时，显然有以下两种可能：

或：

情形一：

相切——连过切点的半径（设⊙P的半径为r）后，可得到：

分别在Rt△A‘B’C和△PB’C中，由∠1＝∠2得：tan∠1＝tan∠2，因此有：r/(13-r)=12/13，解得：r=156/25.

情形二：

      首先，通过全等，可以证得A‘B’⊥AB，如下图示：

从而⊙P与AB相切的切点必是点D，同时由相切的性质．可得到：

在Rt△AB’D中，由sinA=B’D/AB’=5/13可得：（2r－13）/7=5/13，解得：r=102/25.

综上所述，⊙P的半径为156/25或102/13．

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【反思】在直角三角形的背景下，相对相似而言，充分利用三角函数的定义，能使计算或解题过程简化．

【拓展延伸】如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=5/13,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′A′上的动点，以点P为圆心、PA′长为半径作⊙P,当⊙P与△ABC的边相切时,⊙P的半径为         .

（解法及思路与原题类似） 

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