尖子生之路[九上系列]—一元二次方程（3）——理解配方法的思想更重要
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尖子生之路[九上系列]—一元二次方程（3）
——理解配方法的思想更重要
（本文的部分试题选自福建人民出版社出版的丛书系列《顶尖数学培优专题》，后有详细说明）
配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的右边；③在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方；④把方程写成的形式；⑤运用直接开平方法解方程．
其中利用配方的思路，转化为直接开方法，达到降次的目的．
其实除非特定形式的方程（一般情况是二次项系数为1，且一次项系数的一半比较容易（算）的常用配方法来解）外的方程若用配方法来解，多数计算量相对比较大．但配方法本身是常用的数学方法，方法本身是非常重要，因此务必要体会方法本身的所蕴含的数学思想和深刻意义．本文将通过几个例子简要说明配方法的妙用．
【例1】把x2+4x—1分解因式．
【解】原式=x2+4x+4－4－1
=x2+4x+4－5
=(x+2)2—(√5)2
=(x+2+√5)(x+2—√5).
【例2】已知实数a，b满足条件：
a2+4b2－a+4b+5/4=0，
求a、b的值．
【解】∵a2+4b2－a+4b+5/4=0，
∴(a2－a +1/4)+(4b2 +4b+1)=0.
∴(a-1/2)2+(2b+1)2=0.
∴a-1/2=0且2b+1 =0.
解得a= 1/2，b=－1/2.
【例3】代数式4x2—8x—1有最大值或最小值吗？求出此值．
【解】4x2－8x－1=4（x2-2x）－1
=4（x2-2x+1－1）－1
=4[(x-1)2－1]－1
=4(x-1)2－5.
∴当x=1时，(x-1)2有最小值0，
∴当x=1时，4x2－8x－1有最小值为-5．
【例4】对于任意史实数x，试比较3x3-2x2-4x+1与3x3+4x+10的大小．
【解】(3x3-2x2-4x+1)－(3x3+4x+10)
=－2x2－8x－9=－2(x+2)2－1<0，
所以对于任意实数x，均有：
3x3－2x2－4x+1<3x3+4x+10．
【例5】已知方程中(a2+b2)x2—2b(a+c)x+b2+c2=0中字母a，b，c都是实数．求证：c/b=b/a=x.
【证明】原方程可为：(a2x2-2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0,
∴(ax—b)2+(bx—c)2=0．
∵a，b，c，x都是实数，
∴(ax—b)2≥0,(bx—c)2≥0．
∴ax—b=0,bx—c=0．
∴c/b=b/a=x.
当然配方法的应用之广远不止这些，仅抛砖引玉，希望引起朋友们注意，下一章的二次函数还将继续学习这方面内容．
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