尖子生之路[八上系列]—三角形（4） ——三角形的内外角平分线相关

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尖子生之路[八上系列]—三角形（4）

——三角形的内外角平分线相关

（本文的部分试题选自福建人民出版社出版的丛书系列《顶尖数学培优专题》，后有详细说明）

【例】(八上P.7的拓展变式5)如图，认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A的关系____.

探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A的关系是____.

探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？结论：　　　　.

探究4：如图4，△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A₁，∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，依此类推，∠A₄BC与∠A₄CD的平分线相交于点A₅，则∠A₅的度数为　　．

【解析】

探究1　如下图示：

∠BOC＝180⁰－（∠1+∠2）

      　＝180⁰－0.5（∠ABC+∠ACB）

      　＝180⁰－0.5（180⁰－∠A）

      　＝180⁰－90⁰+0.5∠A

      　＝90⁰+0.5∠A.

探究2　如下图示：

由∠2＝∠1+BOC，得：

∠BOC＝∠2－∠1．

同理∠A＝∠ACD－∠ABC．

又因∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1，

所以∠A＝2（∠2－∠1）＝2∠BOC.

探究3　如下图示：

∠BOC＝180⁰－（∠1+∠2）

      　＝180⁰－0.5（∠CBD+∠BCE）

又

∠CBD+∠BCE

＝（180⁰－∠ABC）+（180⁰－∠ACB）

＝360⁰－（∠ABC+∠ACB）

＝360⁰－（180⁰－∠A）

＝180⁰+∠A.

或：如下图示，

∠CBD+∠BCE＝360⁰－∠3＝360⁰－（180⁰-∠BAC）＝180⁰+∠BAC.

      综上，∠BOC＝180⁰－0.5（180⁰+∠BAC）＝90⁰－0.5∠BAC.

探究4　如下图示，

      结合探究2的分析，可以知道：∠A₁＝0.5∠A，∠A₂＝0.5∠A₁＝0.5²∠A，∠A₃＝0.5∠A₂＝0.5³∠A，…，∠A₅＝0.5⁵∠A＝0.5⁵×96⁰＝3⁰．

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【反思】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形的外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形的内角和进行解决（书中原文）.

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【延伸】

1.（1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的四等分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A的关系．

（2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的四等分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A的关系．

2.若将上述的图形中相关条件整合到同一个图形中，得到一个新图形，如下图，你能从中得到哪些结论？

(答案在文章末尾)

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说明：经福建人民出版社同意，从今日起，将陆续发布《顶尖数学培优专题》(初中六册)的部分试题解析，希望能帮助读者朋友解决在学习和使用中所遇到的一些困惑.若需购买这套书的朋友可打开文章“《顶尖数学培优专题》系列丛书”(直接点击打开)阅读本系列丛书的编写说明、各册的样章和购买方法说明．或者：关注本公众号（扫描文章末尾的二维码）后，输入"djpyzt“，即可得到购买地址及相关样章说明.

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【答案】

1.（1）∠BOC＝45⁰+3/4×∠A；

（2）∠BOC＝3/4×∠A；

2.如下图示：（读者朋友们，自己可从下列标记的图中，找出尽管多的结论） 

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