2018年湖北鄂州第24题——倒一压轴（面积、最值与相似）
声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！
（关注公众号后，输入对应数字(请阅读文章末尾的相关关键词和对应的内容)，有您需要的内容）
建议阅读：
初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
2018年湖北鄂州第24题
——倒一压轴（面积、最值与相似）
(2018·鄂州) 如图，已知直线y=x/2+1/2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A(-1，0)，B(4，m)两点，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0，-3/2)，交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．
(1)求抛物线的解析式及点M的坐标；
(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；
(3)点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)，求Q点的坐标．
【分析】第（2）问中，可设出动点P的坐标，利用“水平宽、铅锤高”表示出得△PAB的面积，再利用二次函数求出最值；第（3）问中，先找出固定的三角形△MAD，发现这是等腰直角三角形，则当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，△QMN是以Q为顶角顶点的等腰直角三角形。
【图文解析】（1）先求得点B（4，2.5），再将点A、B、C的坐标代入抛物线中，可求得解析式为y=1/2x2-x-3/2,化为顶点式为y=1/2(x-1)2-2，则顶点M为（1，-2）；同时还能求得点D（3，0）.
(2)如图所示，设点P（m, 1/2m2-m-3/2），则-1<m<4，过点P作PQ⊥x轴，交直线AB于点Q，分别过A、B作AE⊥PQ于点E，作BF⊥PQ于点F。则点Q（m,1/2m+1/2），PQ=yQ-yP=-1/2m2+3/2m+2。
另一方面，S△PAB=S△APQ+S△BPQ=1/2PQ•AE+1/2PQ•BF=1/2PQ（AE+BF）=1/2PQ•（xB-xA）=5/2•PQ=5/2（-1/2m2+3/2m+2）=-5/4m2+15/4m+5=-5/4（m-3/2）2+125/6.∴当m=3/2时，△PAB的面积最大，且最大面积为125/6.此时点P(3/2，-15/8).
(3)由点A（-1，0），D（3，0），M（1，-2）可得△MAD是以M为顶角顶点的等腰直角三角形，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，△QMN是以Q为顶角顶点的等腰直角三角形，分别过点MN作MH⊥x轴，NG⊥x轴。如下图示，易得△MQH≌△QNG，则MH=QG=2，NG=QH。设点Q（x,0）
当xQ≤1时， QH=1-x，则点N为（x+2,1-x），代入抛物线解析式中，可得1/2(x+2)2-(x+2)-3/2=1-x，解得x1=-5，x2=1，即Q1（-5，0），Q2（1，0）；
当xQ>1时，如下图示，QH=x-1，则点N（x-2,x-1），代入抛物线解析式中，可得1/2(x-2)2-(x-2)-3/2=x-1，解得x1=7，x2=1（舍去），即Q3（7，0）。
综上所述，Q1（-5，0），Q2（1，0），Q3（7，0）
【反思】（1）当三角形的三个顶点中两个为固定点，一个为限制条件的动点，要求三角形面积时，利用“水平宽、铅锤高”，将面积问题转化为二次函数的最值问题，方便求解。
(2)对于关于动点的三角形相似问题，先通过已知条件分析出题中的特殊关系，再从中入手，找出动点所要满足的条件。
关注公众号后，输入下列关键词,可得到：
（如：要查找中考第一轮复习34课时，则：关注本公众号后，进入公众号，输入“11”（不包括双引号）即可得到获取资料的地址和密码）本公众号部分已设定的关键词如下：——今后将逐步更新关键词，大家可随时关注相关群和文章的通知。）
1——几何画板视频教程（622分钟）
2——精彩回顾（所有文章）
3——上学期培优系列汇总
4——中考复习（视频资源）
5——一个公式还原魔方
6——2017中考压轴分类
7——本人云课网站详细目录
8——2017年中考压轴解析
9——2017年中考填选压轴
10——中考第一轮复习文档下载地址和密码
11——中考第一轮复习34课时
12——优思数学网app
13——顶尖中考数学微专题－说明与购书方法
14——《顶尖中考微专题》视频解析（1487分钟）
888——可得到快速搜索本公众号文章的技巧
djpyzt——顶尖培优专题系列丛书相关
fjzjkj——九下质检课件
zkyzx——中考专项训练—圆
cqxx——暑期超前学习目录
wwk——微微课的所有动画