九年级尖子生培优系列1-30汇总（1）
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建议阅读：
初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
系列1
试探讨关于x的方程（k－1）x2+kx+1=0的根的情况。
解析：题目本身并没说明为何类方程，因此必须分两种情况讨论：
（1）当k－1＝0即k＝1时，此时原方程为x+1=0(一元一次方程)，显然只有一个根为x=－1；
（2）当k－1≠0即k≠1时，原方程为一元二次方程，必须根据“根的判别式△”的符号情况进行判断（如果能直接求出根，当然可以直接判断）.通过计算△＝k2－4k+4=(k－2)2≥0，所以此时原方程有两个实数根。
实际上，此时原方程可通过因式分解法进行求解：（x+1）[(k－1)x+1]=0.……
变式拓展：
1.当k为何整数时，关于x的方程（k－1）x2+kx+1=0有两个整数根？
（提示：题目已经明确有两整数根，所以原方程必须是一元二次方程，由上述可得x1=－1，x2=1/(1－k).由于k为整数，且要求是两个整数根，所以1－k=1或－1，解得k=0或k=2.）
2.当k为何值时，抛物线y=（k－1）x2+kx+1与x轴两交点的距离为3？
（提示：由上述知，该抛物线与x轴两交点的横坐标分别为－1和1/(1－k).根据题意，可得方程为：｜1/(1－k)+1｜＝3，解得k=1/2或k=5/4.）
3.不论k为何值时，抛物线y=（k－1）x2+kx+1必经过一定点，求定点坐标。
（提示：法一：不难得到上述的（－1，0）为所求的一个定点，与y轴交点坐标为（0，1）也是其中的另一个定点，必须代入验证！ 法二：通过整理，可得：（x2+x）k=y+x2－1（整理成关于k的一元一次方程形式，根据“0乘以任何数都等于0”得到：x2+x＝0且y+x2－1＝0，……。——说明：第二种解法是通法，建议熟练掌握！）
系列2
若a，b，c分别为△ABC的三条边，且满足a2+b2=c2=25，求2a+b的最大值.
解析：本题用三角函数的定义来解，涉及到高中知识，转化为二次函数的最值问题来解，计算量太大，因此必须另找他法，看过本人之前的文章“判别式的妙用”（插入文章链接，点击标题打开）就可发现：本题可用“判别式”解决问题。
“判别式法”解法求“最值”问题的思路是先整理关于某个字母（参数）的一元二次方程，然后利用这个字母值的存在性得到判别式的值必须为非负数，从而问题得到解决。
系列3
若k为任意实数，则抛物线y=a(x－2k+1)2+k－2的顶点一定在什么样的图象上运动？
解析：抛物线的顶点为（2k－1，k－2），显然随着k的取值不同，所对应的顶点就不同，根据“点动成线”可知其一系列的顶点就会构成“线”。我们知道，函数图象反映就是函数中的“函数值（y）”与“自变量（x）”之间的关系，在坐标系中的表现方式就是“点的纵坐标”与“点的横坐标”的关系，因此只需找出“顶点的纵坐标（k－2设为y）”与“顶点的横坐标（2k－1设为x）”之间的关系，就是我们要找的顶点所在图象表示的函数关系。
通过代入法，将x=2k－1和y=k－2两式中的常数k消去，即可找到y与x的有关系：由x=2k－1可得k=(x+1)/2，代入y=k－2可得到：y=(x+1)/2－2=0.5x－1.5.
所以该抛物线的顶点一定在直线y=0.5x－1.5上运动.
变式练习：
若k为任意实数，则抛物线y=a(x－2k+1)2+3－2k2的顶点一定在什么样的图象上运动？
答案：y＝－1/2(x+1)2+3.
观察解析式y=ax2－6ax+b结构的特点，可以发现：二次项与一次项的系数成比例（这是解综合题必备的能力和习惯），可得抛物线的对称为直线x=6a/(2a)=3(是定值)，因此抛物线的对称轴是固定的.
其次，根据抛物线的对称性（对称轴为直线x=3），知：“当1＜x＜2时，y＜0”相当于“当4＜x＜5时，y＜0”，又由已知“当5＜x＜6时，y＞0”，所以该函数图象必过（5，0）点，代入解析式(y=ax2－6ax+b)，得：25a－30a+b=0，得b=5a，所以a/b=1/5.
或：“当5＜x＜6时，y＞0”相当于“当0＜x＜1时，y＞0”，又由已知“当1＜x＜2时，y＜0”，所以该函数图象必过（1，0）点，代入解析式(y=ax2－6ax+b)，得：a－6a+b=0，得b=5a，所以a/b=1/5.
变式练习：
若对于二次函数有：当1＜x＜2时，y＜－2，当5＜x＜6时，y＞－2，求a与b的之间的等量关系.
答案：a=(b－2)/5 .
系列7
已知a≥2，m2－2am+2=0，n2－2an+2=0，求(m－1)2+(n－1)2的最小值.
解析：显然必须找出m、n与a之间的关系，然后将所求的式子化为关于a的二次三项式，再通过配方求最小值.由已知条件“m2－2am+2=0，n2－2an+2=0”等式的结构特征，可以发现：m、n可以看作是方程x2－2ax+2=0的两个实数根，因此有m+n=2a，mn＝2(根据韦达定理.人教版属于选学内容，可通过配方法或公式法求出两根(不妨设m>n)为：
得到：设y=(m－1)2+(n－1)2=m2－2m+1+n2－2n+1=(m+n)2－2mn－2(m+n)+2，将“m+n=2a，mn＝2”代入并整理得：y=4a2－4a－2=4(a－0.5)2－3(a≥2).
把y看作a的二次函数，则对称轴为a＝0.5，同时开口向上（因4＞0），根据图象（可画出草图）知：当在对称轴右侧（a＞0.5）时,y随a的增大而增大.而a≥2，所以当a＝2时，y的值最小，最小值＝4（2－0.5）2－3＝9－3＝6.
变式练习：
若抛物线y=x2+2mx+m2+3m－2与x轴两交点为（x1，0），（x2，0），求x12+x1x2+x22的最小值.
答案：5/4
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