八年级尖子生培优系列1-30汇总（2）
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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
系列6
（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
解析：本题就是系列（5）提到的特殊的“一线三等角”的特殊情况（可参考“适合三个年级上学期的尖子生培优系列（5）”中的相关文章）.简析：如下图示，
不难得△ABD≌△CAE，所以AD＝CE，AE＝BD，因此（AD+AE＝）DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
证法与上述完全相同，不再重复.
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
解析：要判断△DEF的形状，可以通过DF、EF或DE所在的三角形中找出相关关系，DF可以看作在△ADE（或△BDE）中，EF也可看作在△CEF（或△AEF）中，如下图示，
得到DF＝EF，且∠1＝∠2.
进一步，又得到∠1+∠3＝∠2+∠3，即∠DFE＝∠AEC＝600.
所以△DEF是等边三角形.
思维拓展（变式）：
其实本题的图可以看成下列两个基本图组合而成。
因此，我们还可以：将原题的条件“∠BDA=∠AEC=∠BAC”改为“2∠BDA=2∠AEC=∠BAC”，其他条件保持不变的情况下，……，如下图示，
提示：解法类似.
系列7
如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，AB=5，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
系列8
（1）如图①，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A、B分别在坐标轴上，若点C的横坐标为2，直接写出点B的坐标 ；
（2）如图②，若点A的坐标为（﹣6，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF，等腰直角△ABE，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值．若变化，求PB的取值范围．
解析：又是典型的与“直角（等腰直角三角形）”相关的问题，此类型均有多解，但本质类似，本文不再进行多解，但务必熟练掌握与之相关的辅助线添法和解题思路.
系列11
如图1，一张△ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．
（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∠AMC′与∠ACB的数量关系是 写出结论即可）．
（2）若折成图2的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．
（3）若折成图3的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．
（4）将上述问题推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∠AMD′+∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是 （写出结论即可）．
系列12
在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为6，AE=2，求CD长．
解析：画出符合题意的图（因点E在直线AB上，因此有两种可能）
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