九年级尖子生培优系列1-30汇总（3）
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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
系列13
已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中A(1，0)，C(0，－3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）；
①当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．
系列15
已知抛物线y=x2﹣2ax+a2﹣2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．
（1）求A、P点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）点Q在抛物线上，求线段PQ的最小值；
（3）若直线y=x+a﹣2与该抛物线交于B、C两点，M点是线段BC的中点．当a的值在某范围内变化时，M点的运动轨迹是一条直线的一部分，请求出该直线的解析式，并写出自变量的取值范围．
解析：
（1）简解：配方得：y=（x﹣a）2﹣2，其顶点A（a，﹣2），因P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．所以P（a，1）.
（2）显然，要先求出PQ（或PQ2——为了减小计算量）的长（用与a及动点Q的相关的变量表示），再转化为求PQ或PQ2的最小值。
依题意，可设Q（m，（m﹣a）2﹣2），又P（a，1），根据勾股定理，得：PQ2=（m﹣a）2+[(m﹣a) 2﹣3]2
观察式子，含有(m﹣a)2 ，因此可设（m﹣a）2=n（整体思想），则PQ2=n+（n﹣3）2转化为“关于n的二次函数，通过配方，可得：
PQ2=n2－5n+9＝（n－5/2）2+11/4
∴直线为y=2x﹣5/2（x＞3/8）．
反思：“点动成线”，也就是：函数关系所反映的其实就是点（动点）的纵坐标与横坐标间的关系——函数的“灵魂”.
系列16
如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：
①c﹣a=n；
②抛物线与x轴的另一个交点为（m，0），则﹣2＜m＜﹣1；
③当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
④一元二次方程ax2+（b﹣1/2）x+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
法二：图像法
原方程可化为：ax2+bx+c=1/2x，
原方程的根可看作函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=1/2x交点的横坐标.如下图示：
显然两函数图象有两个交点，所以所判断的方程有两个不相等的实数根.
综上所述，正确结论是：①②③④，共4个，故选D．
系列18
如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3(a＞0)和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1(a＞0)的图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．
（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为 ，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ．
（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．
（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．
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