八年级尖子生培优系列1-30汇总（3）
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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
系列13
在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P．
（1）求证：BD=DP；
（2）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
反思：“450（半直角）”常用的辅助线和证明思路大致相同，务必体会其解法要领。同时在几何中，不论图形位置或者形状如何发生变化，结论和证题思路却没有发生大的变化，因此往往可以从“特殊到一般”这个重要的数学思想中，找出证题思路。
系列14
如图，在△ABC和△EFP中，边BC和FP在同一直线上，∠ACB＝∠EFP＝900，AC＝BC＝EF＝FP，直线EP与直线AC交于点Q.
（1）判断AP与BQ的位置关系和数量关系，并证明.
（2）将△EFP沿直线BC左右平移时，画出对应的图形，并判断（1）的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
反思：动中有静，从特殊到一般。几何多数问题在图形位置改变时，其相关的性质并没有改变，证题方法也相类似，本题又是一个典型的例子.
系列16
（300的角的性质应用）
（1）如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长= ．
（2）如图2所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA= ．
（3）如图3所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．
△ACE中，∠1＝∠2+∠C，又∠B=2∠C＝∠1，得∠2+∠C＝2∠C，即∠2＝∠C，所以AE＝CE，又AE＝AB，因此CE＝AB.
综上，由CE＝AB与BD＝DE，得：CD＝CE+DE＝AB+BD.
“补短”法：延长DB至E，使DE=CD，连接AE，如下图示，
△ABE中，∠1＝∠2+∠E，又∠1=2∠C＝2∠E，得∠2+∠E＝2∠E，即∠2＝∠E，所以AB＝BE，又AE＝AB，因此CE＝AB.
综上，由BE＝AB与CD＝DE，得：CD＝DE＝BE+BD＝AB+BD.
反思：“取长补短”法，是几何证题中常用的方法，其中也蕴含着“对称”思想，因此也常在“角平分线”中用到。请同学们务必仔细体会。
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